【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,點O為AB上一點,且3AO=AB,以OA為半徑作半圓O,交AC于點D,AB于點E,DE與OC相交于F.
(1)求證:CB與⊙O相切;
(2)若AB=6,求DF的長度.
【答案】(1)見解析;(2)DF=.
【解析】
(1)過O作OH⊥BC與H,根據直角三角形的性質得到OH=OB,證得OH=OA,于是得到結論;
(2)解直角三角形得到BC=AB=3,根據相似三角形的性質即可得到結論.
(1)證明:過O作OH⊥BC與H,
∵∠ACB=90°,
∴OH∥AC,
∵∠A=60°,
∴∠HOB=60°,
∴OH=OB,
∵3AO=AB,
∴OA=BO,
∴OH=OA,
∴CB與⊙O相切;
(2)解:∵AB=6,3AO=AB,
∴AE=4,OB=4,
∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,
∴BC=AB=3,
∵AE是⊙O的直徑,
∴∠ADE=90°,
∴DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB,
△OEF∽△OBC,
∴,
∴,,
∴,
∴DF=.
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【題目】有這樣一個問題:探究函數的圖象和性質.小奧根據學習函數的經驗,對函數的圖象和性質進行了探究.下面是小奧的探究過程,請補充完整:
(1)函數的自變量的取值范圍是_________;
(2)下表是與的幾組對應值,則的值為______,的值為______;
… | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | ||||||||
… | 2 | … |
(3)如右圖,在平面直角坐標系中,描出了以上表中各組對應值為坐標的點.根據描出的點,畫出該函數的圖象;
(4)進一步探究發(fā)現,該函數圖象在第一象限內的最低點的坐標是.結合函數圖象,寫出該函數的其他兩條性質:①_________,②_________.
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【題目】如圖,已知A(﹣4,),B(﹣1,m)是一次函數y=kx+b與反比例函數y=圖象的兩個交點,AC⊥x軸于點C,BD⊥y軸于點D.
(1)求m的值及一次函數解析式;
(2)P是線段AB上的一點,連接PC、PD,若△PCA和△PDB面積相等,求點P坐標.
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【題目】“賞中華詩詞,尋文化基因,品生活之美”,某校舉辦了首屆“中國詩詞大會”,經選拔后有名學生參加決賽,這名學生同時默寫首古詩詞,若每正確默寫出一首古詩詞得分,根據測試成績繪制出部分頻數分布表和部分頻數分布直方圖如下:
組別 | 成績分 | 頻數(人數) |
第組 | ||
第組 | ||
第組 | ||
第組 | ||
第組 |
請結合圖表完成下列各題: :
(1)①求表中的值;
②頻數分布直方圖補充完整;
(2)若測試成績不低于分為優(yōu)秀,則本次測試的優(yōu)秀率是多少?
(3)第組名同學中,有名男同學,現將這名同學平均分成兩組進行對抗賽,且名男同學每組分兩人,求其中小華和小強兩名男同學能分在同一組的概率.
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【題目】如圖,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=10,BC=12,將此等腰三角形紙片沿底邊BC上的高AD剪成兩個全等的三角形,用這兩個三角形拼成一個平行四邊形,則所拼出的所有平行四邊形中最長的對角線的長是_____.
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【題目】如圖,某景區(qū)的兩個景點A、B處于同一水平地面上、一架無人機在空中沿MN方向水平飛行進行航拍作業(yè),MN與AB在同一鉛直平面內,當無人機飛行至C處時、測得景點A的俯角為45°,景點B的俯角為30°,此時C到地面的距離CD為100米,則兩景點A、B間的距離為__米(結果保留根號).
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【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,點P(不與點A,B重合)為半圓上一點,將圖形沿BP折疊,分別得到點A,O的對應點點A′,O′,過點A′C∥AB,若A′C與半圓O恰好相切,則∠ABP的大小為_____°.
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