【題目】如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.

1)求AB、C的坐標;

2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合),過點Mx軸的垂線,與直線AC交于點E,與拋物線交于點P,過點PPQ∥AB交拋物線于點Q,過點QQN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊,當矩形PQMN的周長最大時,求△AEM的面積;

3)在(2)的條件下,當矩形PMNQ的周長最大時,連接DQ.過拋物線上一點Fy軸的平行線,與直線AC交于點G(點G在點F的上方).FG=DQ,求點F的坐標.

【答案】1A-3,0),B1,0),C0,3); (2;(3或(1,0.

【解析】

試題(1)通過解析式即可得出C點坐標,令y=0,解方程得出方程的解,即可求得AB的坐標;

2)設(shè)M點橫坐標為m,則PM=,MN=﹣m﹣1×2=﹣2m﹣2,矩形PMNQ的周長d=,將配方,由二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出m的值,然后求得直線AC的解析式,把x=m代入可以求得三角形的邊長,從而求得三角形的面積;

3)設(shè)Fn,),由已知若FG=DQ,即可求得.

試題解析:解:(1)由拋物線可知,C03),令y=0,則,解得x=﹣3x=1∴A﹣3,0),B1,0);

2)由拋物線可知,對稱軸為x=﹣1,設(shè)M點的橫坐標為m,則PM=,MN=﹣m﹣1×2=﹣2m﹣2矩形PMNQ的周長=2PM+MN=×2==,m=﹣2時矩形的周長最大.∵A﹣3,0),C03),設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,解得k=1,b=3,解析式y=x+3,當x=﹣2時,則E﹣21),∴EM=1,AM=1∴S=AMEM=;

3∵M點的橫坐標為﹣2,拋物線的對稱軸為x=﹣1,∴N應(yīng)與原點重合,Q點與C點重合,∴DQ=DC,把x=﹣1代入,解得y=4∴D﹣14),∴DQ=DC=,∵FG=DQ,∴FG=4,設(shè)Fn),則Gn,n+3),G在點F的上方,=4,解得:n=﹣4n=1,∴F﹣4,﹣5)或(10).

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