Question

△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，E點(diǎn)和F點(diǎn)分別在AC和BC邊上，且CE=CF，AF與BE交于G點(diǎn)，
（1）求證：∠CAF=∠EBC；
（2）若∠AGE=45°，延長(zhǎng)CG交BA于H點(diǎn)，求證：AE=2HG．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）利用“邊角邊”證明△ACF與△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等證明即可；
（2）取EB中點(diǎn)M，連結(jié)HM，根全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，然后求出∠CAB=∠ABC，再求出∠3=∠4，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AG=BG，再利用“邊角邊”證明△ACG和△BCG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACG=∠BCG=45°，判斷出H點(diǎn)為AB邊中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得HM=

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AE且HM∥AE，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及對(duì)頂角相等求出∠7=∠8，根據(jù)等角對(duì)等邊可得HG=HM，從而得證．

解答：證明：（1）△ACF與△BCE中，

AC=BC ∠ACF=∠BCE=90° CE=CF

，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴∠CAF=∠EBC；

（2）取EB中點(diǎn)M，連結(jié)HM，
由（1）得：∠1=∠2，
又∵△ACB為等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠ABC，
∴∠3=∠4，
∴AG=GB，
在△ACG和△BCG中，

AC=BC ∠1=∠2 AG=GB

，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴H點(diǎn)為AB邊中點(diǎn)，
∴HM是△ABE的中位線(xiàn)，
∴HM=

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2

AE且HM∥AE，
∴∠5=∠8，
又∵∠AGE=45°，
∴∠5=45°+∠1，
又∵∠6=∠7=45°+∠2，
∴∠7=∠8，
∴HM=HG，
∴AE=2HG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形和三角形的中位線(xiàn)．