Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+2x-6的圖象，與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點
（1）求△ABC的面積；
（2）點P是直線AC下方的拋物線上一動點．不與點A，C重合，求過P作x軸的垂線交于AC于點E，求線段PE的最大值及P點坐標；
（3）連接AD，在y軸上是否存在點M，使得△ADM為直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）易求得點A，B，C坐標，即可解題；
（2）易求得直線AC解析式，即可求得PE長度隨橫坐標x的變化的二次函數(shù)式，求得二次函數(shù)的最大值即可解題；
（3）存在3種情況：①∠ADM=90°，②∠DAM=90°，③∠AMD=90°，分類討論即可求得M的值，即可解題．

解答：解：（1）∵

1

2

x²+2x-6=0時，
解得：x=2或-6，
當x=0時，y=-6，
∴△ABC的面積S=

1

2

AB•OC=24；

（2）∵直線AC經(jīng)過點A，C，
設直線AC解析式為y=kx+b，代入A，C點，
解得：直線AC解析式為y=-x-6，
∵點P是直線AC下方的拋物線上一動點，
設點P（x，y），
則PE=-x-6-（

1

2

x²+2x-6）=-

1

2

x²-3x；
∴當x=-

-3

2×(- 1 2 )

=-3時，線段PE有最大值為

9

2

，
此時點P點坐標為（-3，-

15

2

）；

（3）存在點M，存在3種情況：
①∠ADM=90°，∵點D坐標為（-2，-8），點A坐標為（-6，0），
設直線AD為y=kx+b，代入A，D點得：k=-2，
∵AD⊥DM，
∴直線DM解析式為y=-

1

k

x+t=y=

1

2

x+t，
代入點D坐標得：y=

1

2

x-7，
∴點M坐標為（0，-7）；
②∠DAM=90°，∵點D坐標為（-2，-8），點A坐標為（-6，0），
設直線AD為y=kx+b，代入A，D點得：k=-2，
∵AD⊥DM，
∴直線DM解析式為y=-

1

k

x+t=y=

1

2

x+t，
代入點D坐標得：y=

1

2

x+3，
∴點M坐標為（0，3）；
③∠AMD=90°，∵點D坐標為（-2，-8），點A坐標為（-6，0），
設點M坐標為（0，y），
則

y+8

2

•

y

6

=-1，
解得：y=-4±4

7

，
∵y＜0，
∴y=-4-4

7

，
∴存在點M，坐標為（0，3）（0，-7）（0，-4-4

7

）時，可使得△ADM為直角三角形．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求解，考查了二次函數(shù)頂點的求解，考查了一次函數(shù)解析式的求解，本題中正確求得二次函數(shù)解析式是解題的關鍵．