Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y軸上，OA＝OD＝2，OC＝OE＝4，B為線段OA的中點(diǎn)，直線AD與經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn)，與其對(duì)稱軸交于M，點(diǎn)P為線段FG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與F、G不重合），作PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q．

（1）若經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝－x2＋（2b－1）x＋c－5，則b＝ ，c＝ （直接填空）

（2）①以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （直接填空）

②若拋物線頂點(diǎn)為N，又PE＋PN的值最小時(shí)，求相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）連結(jié)QN，探究四邊形PMNQ的形狀：

①能否成為平行四邊形

②能否成為等腰梯形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

（1）b＝2，c＝9；（2）①P（2，4）或（1，3）；②P；（3）①若四邊形PMNQ為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為，②若四邊形PMNQ為等腰梯形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo) 為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)易求對(duì)稱軸，利用對(duì)稱軸公式來(lái)求b的值；根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)來(lái)求c的值.

（2）①分兩種情況：∠EDP=90°和EPD=90°.

②以直線AD為對(duì)稱軸，作點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接EN′，EN′與直線AD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.

（3）設(shè)點(diǎn)P為（x，x+2）Q（x，-x2+3x+4），則PQ=-x2+2x+2，根據(jù)PQNM是平行四邊形，則PQ=MN，即可求得PM的長(zhǎng)，判斷是否成立，從而確定；根據(jù)①的解法即可確定P的坐標(biāo)．

（1）如圖1，∵OA=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點(diǎn)，

∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）．

∴拋物線對(duì)稱軸為.

又 過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-x2+（2b-1）x+c-5，

∴，c-5=4，解得 b=2，c=9.

（2）①設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+2（k≠0）．

∵A（-2，0），∴0=-2k+2，解得 k=1.

∴直線AD的解析式為：y=x+2．

如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EP∥x軸交直線AD與點(diǎn)P，則∠PED=90°．

∴把y=4代入y=x+2，得x=2，則P（2，4）．∴ED=EP．

過(guò)點(diǎn)E作EP′⊥直線AD于點(diǎn)P′，則∠EP′D=90°．

∴點(diǎn)P′是線段DP的中點(diǎn)．∴P′（1，3）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，4）或（1，3）．

②如圖2，作點(diǎn)N關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接EN′，EN′與直線AD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．

所以 P.

（3）點(diǎn)M坐標(biāo)是，點(diǎn)N坐標(biāo)是，∴MN=.

①設(shè)點(diǎn)P為（x，x+2），Q（x，-x2+3x+4），則PQ=-x2+2x+2.

如圖3，能成為平行四邊形，若P′Q′NM是平行四邊形形，則P′Q′=MN，可得x1=，x2=，

當(dāng)x2=時(shí)，點(diǎn)P′與點(diǎn)M重合；

當(dāng)x1=時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

②如圖3，能成為等腰梯形，作QH⊥MN于點(diǎn)H，作PJ⊥MN于點(diǎn)J，則NH=MJ，

則，解得：x=.

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．