Question

四邊形ABCD中，AB=

3

，BC=CD=DA=1．當△ABD和△BCD的面積的平方和為最大時，試確定△ABD為何種三角形？并證明你的結論．

Answer 1

考點：面積及等積變換,正弦定理與余弦定理,等腰三角形的判定,勾股定理,銳角三角函數的定義

專題：證明題,配方法

分析：過點D作DE⊥AB于E，過點D作DF⊥BC于F，根據余弦定理可證得cosC=

3

cosA-1，然后根據三角形的面積公式及sin²α+cos²α=1，將△ABD和△BCD的面積的平方和用cosA的表達式表示，然后運用配方法可得當cosA=

3

6

時，△ABD和△BCD的面積的平方和最大，然后運用三角函數及勾股定理依次求出AE、BE、DE、BD的值，就可證到△ABD為等腰三角形．

解答：解：△ABD為等腰三角形．
理由如下：
過點D作DE⊥AB于E，過點D作DF⊥BC于F，如圖，
則有DE=AD•sinA=sinA，DF=DC•sinC=sinC．
根據余弦定理可得：
DB²=AD²+AB²-2AD•AB•cosA=1+3-2

3

cosA=4-2

3

cosA，
DB²=DC²+BC²-2DC•BC•cosC=1+1-2cosC=2-2cosC，
∴4-2

3

cosA=2-2cosC，
∴cosC=

3

cosA-1．
∵AB=

3

，BC=CD=DA=1，
∴（S_△ABD）²+（S_△DBC）²=（

1

2

AB•DE）²+（

1

2

BC•DF）²
=（

3

2

•sinA）²+（

1

2

sinC）²=

3

4

sin²A+

1

4

sin²C．
=

3

4

（1-cos²A）+

1

4

（1-cos²C）=1-

3

4

cos²A-

1

4

cos²C
=1-

3

4

cos²A-

1

4

（

3

cosA-1）²=-

3

2

cos²A+

3

2

cosA+

3

4

=-

3

2

（cos²A-

3

3

cosA）+

3

4

=-

3

2

[（cosA-

3

6

）²-

1

12

]+

3

4

=-

3

2

（cosA-

3

6

）²+

7

8

，
∴當cosA=

3

6

時，（S_△ABD）²+（S_△DBC）²取到最大值為

7

8

，
此時AE=AD•cosA=

3

6

，BE=AB-AE=

5 3

6

，
DE=

AD2-AE2

=

11 12

，DB=

DE2+BE2

=

3

，
∴DB=AB=

3

，
∴△ABD為等腰三角形．

點評：本題主要考查了余弦定理、三角函數、勾股定理、等腰三角形的判定等知識，還用到了公式sin²α+cos²α=1，運用配方法是解決本題的關鍵．