Question

如圖①，在平面直角坐標系中，點A是拋物線y=x²在第一象限上的一個點，連結(jié)OA，過點A作AB⊥OA，交y軸于點B，設點A的橫坐標為n．

【探究】：
（1）當n=1時，點B的縱坐標是

 

； 
（2）當n=2時，點B的縱坐標是

 

；
（3）點B的縱坐標是

 

（用含n的代數(shù)式表示）．
【應用】：
如圖②，將△OAB繞著斜邊OB的中點順時針旋轉(zhuǎn)180°，得到△BCO．
（1）求點C的坐標（用含n的代數(shù)式表示）；
（2）當點A在拋物線上運動時，點C也隨之運動．當1≤n≤5時，線段OC掃過的圖形的面積是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：探究；依據(jù)直角三角形的射影定理即可求得B點的坐標．
應用：（1）依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得C點的坐標，（2）通過（1）可求得C₁、C₂的坐標，從而得出矩形面積和三角形的面積，最后求得當1≤n≤5時，線段OC掃過的圖形的面積．

解答：
解：探究（3）如圖1所示：設點A的橫坐標為n，點A是拋物線y=x²在第一象限上的一個點；
∴A（n，n²）；
∴AD=n，OD=n²；
在Rt△AOB中，AD²=OD•BD；
設B點的縱坐標為y₁，則n²=n²•（y₁-n²），
解得：y₁=n²+1，
∴點B的縱坐標是 n²+1．

應用：（1）點B的縱坐標是 n²+1，A點的縱坐標是n²，
∴BD=1，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可知CE=AD=n，OE=BD=1；
∴C點的坐標為：（-n，1）；

（2）當n=1時C點的坐標為C₁（-1，1），當n=5時C點的坐標為C₂（-5，1），如上圖所示；
S △OC1C2=

1

2

S 矩形OGC2H-S △OGC1=

1

2

×1×5-

1

2

×1×1=2．
∴當1≤n≤5時，線段OC掃過的圖形的面積是2．

點評：本題考查了直角三角形的射影定理的應用，全等三角形的性質(zhì)，直角坐標系中面積求法是本題的關鍵．