Question

在△ABC中，AD是過(guò)A的一條射線，交BC于D，過(guò)B作BE⊥AD于E，過(guò)C作CF⊥AD于F．
（1）若M是BC中點(diǎn)．求證：FM=EM；
（2）若∠BAC=90°，AB=AC，線段BE、CF、EF之間存在確定的數(shù)量關(guān)系嗎？試證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，在（1）的條件下，（1）中的結(jié)論還存在嗎？
（4）當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，在（2）的條件下，（2）中的結(jié)論還存在嗎？試證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接EM，延長(zhǎng)CF與EM交于N，易證∠EBM=∠NCM，即可證明△BME≌△CNM，可得ME=MN，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)可得MF=

1

2

NE，即可解題；
（2）易證∠ABE=∠CAF，即可證明△BAE≌△CAF，可得AF=BE，AE=CF，根據(jù)AF=AE+EF即可解題；
（3）連接EM，延長(zhǎng)CF與EM交于N，易證∠EBM=∠NCM，即可證明△BME≌△CNM，可得ME=MN，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)可得MF=

1

2

NE，即可解題；
（4）易證∠ABE=∠CAF，即可證明△BAE≌△CAF，可得AF=BE，AE=CF，根據(jù)EF=AE+AF即可解題．

解答：證明：（1）連接EM，延長(zhǎng)CF與EM交于N，

∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∴∠EBM=∠NCM，
∵在△BME和△CNM中，

∠EMB=∠NMC BM=CM ∠EBM=∠NCM

，
∴△BME≌△CNM，（ASA）
∴ME=MN，
∵RT△EFN中，MF=

1

2

NE，
∴MF=ME；
（2）BE=CF+EF，
理由：∵∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+ABE=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
∵在△BAE和△CAF中，

∠BEA=∠CFA=90° ∠ABE=∠CAF AB=AC

，
∴△BAE≌△CAF，（AAS）
∴AF=BE，AE=CF，
∵AF=AE+EF，
∴BE=CF+EF；
（3）還存在，
理由：如圖，連接EM，延長(zhǎng)CF與EM交于N，

∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∴∠EBM=∠NCM，
∵在△BME和△CNM中，

∠EMB=∠NMC BM=CM ∠EBM=∠NCM

，
∴△BME≌△CNM，（ASA）
∴ME=MN，
∵RT△EFN中，MF=

1

2

NE，
∴MF=ME；
（4）不存在，新結(jié)論為BE+CF=EF．
理由：如圖，

∵∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+ABE=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
∵在△BAE和△CAF中，

∠BEA=∠CFA=90° ∠ABE=∠CAF AB=AC

，
∴△BAE≌△CAF，（AAS）
∴AF=BE，AE=CF，
∵EF=AE+AF，
∴EF=CF+BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BME≌△CNM和△BAE≌△CAF是解題的關(guān)鍵．