Question

如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B和∠D，使BC、AD落在AC上．設(shè)F、H分別是B、D落在AC上的兩點(diǎn)，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點(diǎn)．
（1）證明：△AGH≌△CEF；
（2）若矩形ABCD滿(mǎn)足一個(gè)條件：

 

，則折紙后得到的四邊形AECG是菱形．（無(wú)需說(shuō)明理由）

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）,全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和矩形性質(zhì)得出∠D=∠AHG=∠B=∠CFE=90°，AD=AH=BC=CF，∠BCA=2∠ECF，∠DAC=2∠GAH，AD∥BC，求出∠GAH=∠ECF，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）求出∠DCA=30°，根據(jù)全等得出AG=CE，推出AG∥CE，得出平行四邊形AECG，求出∠GAC=∠ACE=30°，推出AG=CG，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵ABCD是矩形紙片，翻折∠B和∠D，使BC、AD落在AC上．設(shè)F、H分別是B、D落在AC上的兩點(diǎn)，
∴∠D=∠AHG=∠B=∠CFE=90°，AD=AH=BC=CF，∠BCA=2∠ECF，∠DAC=2∠GAH，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠GAH=∠ECF，
在△AGH和△CEF中，

∠AHG=∠CFE AH=CF ∠GAH=∠ECF

，
∴△AGH≌△CEF（ASA）；

（2）解：當(dāng)DC=

3

AD時(shí)，四邊形AECG是菱形，
理由是：在Rt△ADC中，tan∠DCA=

AD

DC

=

AD

3 AD

=

3

3

，
∠DCA=30°，
∵∠DCB=90°
∴∠BCA=60°，
根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠ACE=∠BCE=30°，
∵△AGH≌△CEF，
∴AG=CE，∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE，
∴四邊形AECG是平行四邊形，∠GAC=∠ACE=30°，
∴∠DCA=∠GAC=30°，
∴AG=CG，
∴四邊形AECG是菱形，
故答案為：DC=

3

AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中．