【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直線AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交CD于點(diǎn)F,連接DE.
(1)求證:△DEC≌△EDA;
(2)求DF的值;
(3)如圖2,若P為線段EC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作△AEC的內(nèi)接矩形,使其頂點(diǎn)Q落在線段AE上,定點(diǎn)M、N落在線段AC上,當(dāng)線段PE的長(zhǎng)為何值時(shí),矩形PQMN的面積最大?并求出其最大值.
【答案】
(1)
證明:由矩形和翻折的性質(zhì)可知:AD=CE,DC=EA,
在△ADE與△CED中,
∴△DEC≌△EDA(SSS)
(2)
解:如圖1,
∵∠ACD=∠BAC,∠BAC=∠CAE,
∴∠ACD=∠CAE,
∴AF=CF,
設(shè)DF=x,則AF=CF=4﹣x,
在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2,
即32+x2=(4﹣x)2,
解得:x= ,
即DF=
(3)
解:如圖2,由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA
∴
又∵CE=3,AC= =5
設(shè)PE=x(0<x<3),則 ,即PQ=
過(guò)E作EG⊥AC于G,則PN∥EG,
∴
又∵在Rt△AEC中,EGAC=AECE,解得EG= ,
∴ = ,即PN= (3﹣x),
設(shè)矩形PQMN的面積為S,
則S=PQPN=﹣ x2+4x=﹣ +3(0<x<3)
所以當(dāng)x= ,即PE= 時(shí),矩形PQMN的面積最大,最大面積為3.
【解析】(1)由矩形和翻折的性質(zhì)可知AD=CE,DC=EA,根據(jù)“SSS”可求得△DEC≌△EDA;(2)根據(jù)勾股定理即可求得.(3)由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA,所以 ,從而求得PQ,由PN∥EG,得出 ,求得PN,然后根據(jù)矩形的面積公式求得解析式,即可求得.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(8分)某工廠通過(guò)科技創(chuàng)新,生產(chǎn)效率不斷提高.已知去年月平均生產(chǎn)量為120臺(tái)機(jī)器,今年一月份的生產(chǎn)量比去年月平均生產(chǎn)量增長(zhǎng)了m%,二月份的生產(chǎn)量又比一月份生產(chǎn)量多50臺(tái)機(jī)器,而且二月份生產(chǎn)60臺(tái)機(jī)器所需要時(shí)間與一月份生產(chǎn)45臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同,三月份的生產(chǎn)量恰好是去年月平均生產(chǎn)量的2倍.
問(wèn):今年第一季度生產(chǎn)總量是多少臺(tái)機(jī)器?m的值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,CA⊥AB,垂足為點(diǎn)A,AB=8,AC=4,射線BM⊥AB,垂足為點(diǎn)B,一動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2厘米/秒的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D為射線BM上一動(dòng)點(diǎn),隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),且始終保持ED=CB,當(dāng)點(diǎn)E離開點(diǎn)A后,運(yùn)動(dòng)______ 秒時(shí),△DEB與△BCA全等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn),∠EAF=45°,△ECF的周長(zhǎng)為4,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,m),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B,且△AOB的面積為1.
(1)求m,k的值;
(2)若一次函數(shù)y=nx+2(n≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖1陰影部分的面積.
方法①:__________________________;
方法②:____________________________;
(2)根據(jù)(1)寫出一個(gè)等式:__________________________.
(3)有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)表示.如圖2,它表示了(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2.
試畫出一個(gè)幾何圖形,使它的面積能表示(2m+n)(m+2n)=2m2+5mn+2n2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠ABC+∠ECB=180°,∠P=∠Q,
(1)AB與ED平行嗎?為什么?
(2)PB與CD平行嗎?為什么?
(3)∠1與∠2是否相等?說(shuō)說(shuō)你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線上有n(n≥2的正整數(shù))個(gè)點(diǎn),每相鄰兩點(diǎn)間距離為1,從左邊第1個(gè)點(diǎn)起跳,且同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:
①每次跳躍均盡可能最大;
②跳n次后必須回到第1個(gè)點(diǎn);
③這n次跳躍將每個(gè)點(diǎn)全部到達(dá),
設(shè)跳過(guò)的所有路程之和為Sn , 則S25= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2,求證:CD⊥AB.
證明:∵DG⊥BC,AC⊥BC(已知)
∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定義)
∴DG∥AC( )
∴∠2= ( )
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠ (等量代換)
∴EF∥CD( )
∴∠AEF=∠ ( )
∵EF⊥AB(已知)
∴∠AEF=90°( )
∴∠ADC=90°( )
∴CD⊥AB( )
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