Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上方的動(dòng)點(diǎn)，連接，，．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在軸上，且滿足的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在軸上，的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且滿足，求；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是線段，上一點(diǎn)，滿足：，，．

以下結(jié)論：①；②平分；③平分；④．

正確的是：________．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)正確結(jié)論序號(hào)，并選擇一個(gè)正確的結(jié)論證明，簡(jiǎn)寫(xiě)證明過(guò)程）．

Answer 1

【答案】（1）135°，（2）2；（3）②③④，理由見(jiàn)詳解

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理（三角形的內(nèi)角和是180°）和角平分線定理可求∠P的度數(shù)，進(jìn)而得到答案；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線定理可求解，進(jìn)而可以得到答案；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)，可求解．

解：(1) ∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AP平分∠OAB，BP平分∠OBA，

∴，

∴，

∴；

(2) ∵BC平分∠ABO，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

(3) 如圖，連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，

∵∠ONP+∠OMP=180°，且∠OMP+∠PMF=180°，
∴∠PNO=∠PMF，且PN=PM，∠PEO=∠PFO=90°
∴△PEN≌△PMF（AAS）
∴PE=PF，且PE⊥OB，PF⊥OA
∴OP平分∠AOB，
如上圖，作BH平分∠OBA，交OP延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH，
∵BH平分∠OBA，OH平分∠BOA，
∴AH平分∠OAB

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)H與點(diǎn)P重合，
∴AP平分∠OAB；BP平分∠OBA，
故②③正確，
∵PE=PF，OP=OP
∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL）
∴OE=OF，且OM＜OF=OE＜ON
故①錯(cuò)誤
如上圖，在AB上截取AQ=AM，
∵AM=AQ，∠OAP=∠BAP，AP=AP
∴△MAP≌△QAP（SAS），
∴∠PMA=∠PQA，
∴∠ONP=∠AQP，
∴∠BNP=∠BQP，且BP=BP，∠OBP=∠ABP，
∴△BPN≌△BPQ（AAS），
∴BN=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AM+BN，
故④正確
故答案為：②③④．