Question

在?ABCD中，AE、CF分別垂直BD，垂足為E、F，G、H是AD、BC的中點(diǎn)，猜想EF、GH的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：利用直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等腰三角形的性質(zhì)推知：EG=FH，EG∥FH．則四邊形EGFH是平行四邊形，故平行四邊形的對(duì)角線EF、GH互相平分．

解答：解：EF、GH互相平分．
證明如下：如圖，連接EG、EH、HF、FG．
如圖，在?ABCD中，AD=BC．
∵點(diǎn)G，H分別是AD與BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，CF⊥BD，
∴EG=

1

2

AD=GD，F(xiàn)H=

1

2

BC=BH．
∴EG=FH，∠GED=∠GDE，∠HFB=∠HBF．
又∠ADE=∠CBD．
∴∠GED=∠HFB，
∴EG∥FH．
∴四邊形GEHF是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．