Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E．
（1）若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度數(shù)；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想∠E與∠B、∠ACB的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論無需證明．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠DAC的度數(shù)，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ADC的度數(shù)，進(jìn)一步求得∠E的度數(shù)；
（2）根據(jù)第（1）小題的思路即可推導(dǎo)這些角之間的關(guān)系．

解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=35°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；

（2）∠E=

1

2

（∠ACB-∠B）．
設(shè)∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180-n-m）°，
∴∠BAD=

1

2

（180-n-m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+

1

2

（180-n-m）°=90°+

1

2

n°-

1

2

m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-（90°+

1

2

n°-

1

2

m°）=

1

2

（m-n）°=

1

2

（∠ACB-∠B）．

點(diǎn)評：此題考查三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義．掌握三角形的內(nèi)角和為180°，以及角平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．