【題目】如圖,為等邊三角形,,,點為線段上的動點,連接,以為邊作等邊,連接,則線段的最小值為___________.
【答案】
【解析】
連接BF,由等邊三角形的性質(zhì)可得三角形全等的條件,從而可證△BCF≌△ACE,推出∠CBF=∠CAE=30°,再由垂線段最短可知當(dāng)DF⊥BF時,DF值最小,利用含30°的直角三角形的性質(zhì)定理可求DF的值.
解:如圖,連接BF
∵△ABC為等邊三角形,AD⊥BC,AB=6,
∴BC=AC=AB=6,BD=DC=3,∠BAC=∠ACB=60°,∠CAE=30°
∵△CEF為等邊三角形
∴CF=CE,∠FCE=60°
∴∠FCE=∠ACB
∴∠BCF=∠ACE
∴在△BCF和△ACE中
BC=AC,∠BCF=∠ACE,CF=CE
∴△BCF≌△ACE(SAS)
∴∠CBF=∠CAE=30°,AE=BF
∴當(dāng)DF⊥BF時,DF值最小
此時∠BFD=90°,∠CBF=30°,BD=3
∴DF=BD=
故答案為:.
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【題目】如圖,已知拋物線過點A(4,0),B(﹣2,0),C(0,﹣4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,點M是拋物線AC段上的一個動點,當(dāng)圖中陰影部分的面積最小值時,求點M的坐標(biāo).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A、B的坐標(biāo)分別為(-,0)、(0,-1),把點A繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)135°得點C,若點C在反比例函數(shù)y=的圖象上.
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)若點D在y軸上,點E在反比例函數(shù)y=的圖象上,且以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形.請畫出滿足題意的示意圖并在示意圖的下方直接寫出相應(yīng)的點D、E的坐標(biāo).
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【題目】如圖1,△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2,將線段BC繞點C順時旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD,連接AD.
(1)說明△ACD的形狀,并求出△ACD的面積;
(2)把等腰直角三角板按如圖2的方式擺放,頂點E在CB邊上,頂點F在DC的延長線上,直角頂點與點C重合.從A,B兩題中任選一題作答:
A .如圖3,連接DE,BF,
①猜想并證明DE與BF之間的關(guān)系;②將三角板繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),直接寫出DE與BF之間的關(guān)系.
B .將圖2中的三角板繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0<α<360°),如圖4所示,連接BE,DF,連接點C與BE的中點M,
①猜想并證明CM與DF之間的關(guān)系;②當(dāng)CE=1,CM=時,請直接寫出α的值.
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【題目】某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場,雞場的一邊靠墻,(墻長25m)另外三邊用木欄圍成,木欄長40m.
(1)若養(yǎng)雞場面積為200m2,求雞場靠墻的一邊長.
(2)養(yǎng)雞場面積能達到250m2嗎?如果能,請給出設(shè)計方案;如果不能,請說明理由.
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【題目】如圖,圓柱形水管內(nèi)原有積水的水平面寬CD=20cm,水深GF=2cm.若水面上升2cm(EG=2cm),則此時水面寬
AB為多少?
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【題目】如圖①,四邊形和四邊形都是正方形,且,,正方形固定,將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)角().
(1)如圖②,連接、,相交于點,請判斷和是否相等?并說明理由;
(2)如圖②,連接,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)為直角三角形時,請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);
(3)如圖③,點為邊的中點,連接、、,在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中,的面積是否存在最大值?若存在,請求出這個最大值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某校初二數(shù)學(xué)興趣小組活動時,碰到這樣一道題:
“已知正方形AD,點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上,若,則EG=FH”.
經(jīng)過思考,大家給出了以下兩個方案:
(甲)過點A作AM∥HF交BC于點M,過點B作BN∥EG交CD于點N;
(乙)過點A作AM∥HF交BC于點M,作AN∥EG交CD的延長線于點N;
(1)對小杰遇到的問題,請在甲、乙兩個方案中任選一個,加以證明(如圖1)
(2)如果把條件中的“”改為“EG與FH的夾角為45°”,并假設(shè)正方形ABCD的邊長為1,FH的長為(如圖2),試求EG的長度.
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【題目】探究與發(fā)現(xiàn):
探究一:我們知道,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.那么,三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢?
已知:如圖1,∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角,試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系.
探究二:三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系?
已知:如圖2,在△ADC中,DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD,試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系.
探究三:若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢?
已知:如圖3,在四邊形ABCD中,DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系.
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