Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB ，垂足為H，連接AC，過上一點E作 EG∥AC 交CD的延長線于點G，連接AE交CD于點F，且EG=FG ．

（1）求證：EG是 ⊙O 的切線；

（2）延長AB交GE的延長線于點M ，若tanG=，AH=2，求 EM 的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】分析：（1）欲證明EG是⊙O的切線只要證明EG⊥OE即可；

（2）連接OC．設⊙O的半徑為r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，證明△AHC∽△MEO，可得，由此即可解決問題.

詳解：（1）如圖，連接OE，

∵GF=GE，

∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵AB⊥CD，

∴∠AFH+∠FAH=90°，

∴∠GEF+∠AEO=90°，

∴∠GEO=90°

∴GE⊥OE，

∴EG是⊙O的切線；

（2）如圖，連接OC．

設⊙O的半徑為r,

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=，

∵AH=2，

∴HC=4，

在Rt△HOC中，

∵OC=r，OH=r-2，HC=4，

∴，

∴r=5，

∵GM∥AC，

∴∠CAH=∠M,

∵∠OEM=∠AHC,

∴△AHC∽△MEO

∴，

∴ ，

∴EM=．