【題目】將一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如圖①擺放,點D為AB的中點,DE交AC于點P,DF經(jīng)過點C.
(1)求∠ADE的度數(shù);
(2)如圖②,將△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角,此時等腰直角三角尺記為, 交AC于點M, 交BC于點N,試判斷的值是否隨著的變化而變化?如果不變,請求出的值;反之,請說明理由.
【答案】(1)∠ADE=30°;(2)不變化,理由見解析.
【解析】將一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如圖①擺放,點D為AB的中點,DE交AC于點P,DF經(jīng)過點C.
(1)求∠ADE的度數(shù);
(2)如圖②,將△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角(0°<<60°),此時等腰直角三角尺記為, 交AC于點M, 交BC于點N,試判斷的值是否隨著的變化而變化?如果不變,請求出的值;反之,請說明理由.
試題分析:(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB,根據(jù)等邊對等角求出∠ACD=∠A,再求出∠ADC=120°,再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計算即可得解;
(2)根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN,再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CPD=60°,從而得到∠CPD=∠BCD,再根據(jù)兩組角對應相等,兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似,再根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得為定值.
試題解析:(1)∵∠ACB=90°,點D為AB的中點,
∴CD=AD=BD=AB,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠ADC=180°-30°×2=120°,
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°;
(2)不變化.
∵∠EDF=90°,
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°,
∴∠PDM=∠CDN,
∵∠B=60°,BD=CD,
∴△BCD是等邊三角形,
∴∠BCD=60°,
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°,
∴∠CPD=∠BCD,
在△DPM和△DCN中,
,
∴△DPM∽△DCN,
∴,
∵=tan∠ACD=tan30°=,
∴的值不隨著α的變化而變化,是定值.
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【題目】甲、乙兩地相距360千米,一輛販毒車從甲地往乙地接頭取貨,警方截取情報后,立即組織干警從甲地出發(fā),前往乙地緝拿這伙犯罪分子,結(jié)果警車與販毒車同時到達,將犯罪分子一網(wǎng)打盡.已知販毒車比警車早出發(fā)1小時15分,警車與販毒車的速度比為4∶3,求販毒車和警車的速度.
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【題目】如圖1,點A、O、B依次在直線MN上,現(xiàn)將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn),同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn),直線MN保持不動,如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t(0≤t≤60,單位秒)
(1)當t=2時,求∠AOB的度數(shù);
(2)在運動過程中,當∠AOB第二次達到63°時,求t的值;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的t,使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角(指大于0°而小于180°的角)的平分線?如果存在,請求出t的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】2017年5月14日至15日,“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行,本屆論壇期間,中國同30多個國家簽署經(jīng)貿(mào)合作協(xié)議,某廠準備生產(chǎn)甲、乙兩種商品共8萬件銷往“一帶一路”沿線國家和地區(qū),已知2件甲種商品與3件乙種商品的銷售收入相同,3件甲種商品比2件乙種商品的銷售收入多1500元.
(1)甲種商品與乙種商品的銷售單價各多少元?
(2)若甲、乙兩種商品的銷售總收入不低于5400萬元,則至少銷售甲種商品多少萬件?
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【題目】在平面直角坐標系中,點是坐標原點,點的坐標是,點的坐標是,點的坐標是,且滿足。
(1)請用含的代數(shù)式分別表示和;
(2)若,求直線與軸的交點的坐標;
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【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC > BC,CD是Rt△ABC的高,E是AC的中點,ED的延長線與CB的延長線相交于點F.
(1)求證:DF是BF和CF的比例中項;
(2)在AB上取一點G,如果AE·AC=AG·AD,求證:EG·CF=ED·DF.
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【題目】已知拋物線(為任意實數(shù))經(jīng)過下圖中兩點M(1,-2)、N(,0),其中M為拋物線的頂點,N為定點.下列結(jié)論:
①若方程的兩根為, (),則, ;
②當時,函數(shù)值隨自變量的減小而減小.
③, , .
④垂直于軸的直線與拋物線交于C、D兩點,其C、D兩點的橫坐標分別為、,則=2 .
其中正確的是( )
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
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【題目】如圖,請在下列四個關(guān)系中,選出兩個恰當?shù)年P(guān)系作為條件,推出四邊形ABCD是平行四邊形,并予以證明.(寫出一種即可)
關(guān)系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四邊形ABCD中, , ;
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
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【題目】等邊三角形ABC中,D、E分別是AB、BC上的點,且AD=BE,AE、CD相交于點P,CF⊥AE.
(1)求∠CPE的度數(shù);
(2)求證:PF=PC.
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