Question

如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)．
（1）判斷四邊形EFGH是何種特殊的四邊形，并說(shuō)明你的理由；
（2）要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿(mǎn)足的一個(gè)條件是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專(zhuān)題：

分析：（1）證得EF∥GH，EF=GH后利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定即可；
（2）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AD且EF=

1

2

AD，同理可得GH∥AD且GH=

1

2

AD，EH∥BC且EH=

1

2

BC，然后證明四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答．

解答：解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形；
證明：在△ACD中∵G、H分別是CD、AC的中點(diǎn)，
∴GH∥AD，GH=

1

2

AD，
在△ABC中∵E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，EF=

1

2

AD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿(mǎn)足的一個(gè)條件是AD=BC．
理由如下：∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD且EF=

1

2

AD，
同理可得：GH∥AD且GH=

1

2

AD，EH∥BC且EH=

1

2

BC，
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AD=BC，
∴

1

2

AD=

1

2

BC，
即EF=EH，
∴?EFGH是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定，三角形的中位線定理，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半得到四邊形EFGH的對(duì)邊平行且相等從而判定出平行四邊形是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．