Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系．

（1）猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；

（2）將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度a，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷（1）中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）BH⊥DE，即BG⊥DE，理由見解析.

（2）BG=DE，BG⊥DE仍然成立，理由見解析.

【解析】試題分析:（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時針旋轉(zhuǎn)90°即可得到三角形DCE，從而判斷兩條直線之間的關系；

（2）結合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE，從而證明結論．

解：（1）BG=DE，BG⊥DE；

∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，

∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCG=∠DCE，

在△BCG和△DCE中，

BC=DC∠BCG=∠DCE CG=CE，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG=DE；

延長BG交DE于點H，

∵△BCG≌△DCE，

∴∠CBG=∠CDE，

又∠CBG+∠BGC=90°，

∴∠CDE+∠DGH=90°，

∴∠DHG=90°，

∴BH⊥DE，即BG⊥DE；

（2）BG=DE，BG⊥DE仍然成立，

在圖（2）中證明如下

∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形

∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°

∴∠BCG=∠DCE，

∴△BCG≌△DCE（SAS）

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°

∴∠CDE+∠DHO=90°

∴∠DOH=90°

∴BG⊥DE．

點睛: 能熟練運用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理分析解答相關問題，正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊相等，四個角都是直角；全等三角形的判定定理：有兩邊及夾角對應相等的兩三角形全等(SAS).