Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）OB＝OC ，

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖2，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.

圖1 圖2

 

Answer 1

（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-2x-3；

（2）存在，F(xiàn)（2，-3）；理由見(jiàn)解析；

（3）當(dāng)x＝時(shí)，△APG的面積最大為；此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）根據(jù)以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．

（3）易求得AC的長(zhǎng)，由于AC長(zhǎng)為定值，當(dāng)P到直線AG的距離最大時(shí)，△APG的面積最大．可過(guò)P作y軸的平行線，交AG于Q；設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線AG的解析式可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，也就求出PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出關(guān)于△APG的面積與P點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出△APG的最大面積及P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)此時(shí)△APG的面積和AG的長(zhǎng)，即可求出P到直線AC的最大距離．

試題解析：（1）由已知得：C（0，-3），

設(shè)該表達(dá)式為： y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-3）

將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=1

所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-2x-3；

（2）如圖，

又y=（x-1）2-4，∴頂點(diǎn)D（1，-4）．

容易求得直線CD的表達(dá)式是y=-x-3．

在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．

∴E（-3，0），

∵A（-1，0），

∴AE=2．

在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2，

∴CF=2，

∴AE=CF．

∵AE∥CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，此時(shí)F（2，-3）．

（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，

易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1；

設(shè)P（x，x2-2x-3），則Q（x，-x-1），PQ=-x2+x+2；

S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（?x2+x+2）×3＝?（x?）2+

當(dāng)x＝時(shí)，△APG的面積最大為；

又AG＝3，P到AG的最大距離為==，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）．

考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法；2、平行四邊形的判定；3、圖形的面積