【題目】在中,,,,過點作直線,將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到(點,的對應點分別為,),射線,分別交直線于點,.
(1)如圖1,當與重合時,求的度數(shù);
(2)如圖2,設(shè)與的交點為,當為的中點時,求線段的長;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當點,分別在,的延長線上時,試探究四邊形的面積是否存在最小值.若存在,求出四邊形的最小面積;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,的最小值為.
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)可得:AC=A'C=2,進而得到BC=,依據(jù)∠A'BC=90°,可得,即可得到∠A'CB=30°,∠ACA'=60°;
(2)根據(jù)M為A'B'的中點,即可得出∠A=∠A'CM,進而得到PB=BC=,依據(jù)tan∠Q=tan∠A=,即可得到BQ=BC×=2,進而得出PQ=PB+BQ=;
(3)依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ﹣,即可得到S四邊形PA'B′Q最小,即S△PCQ最小,而,利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3,S四邊形PA'B′Q=3﹣.
解:(1)由旋轉(zhuǎn)可得:AC=A'C=2,
∵∠ACB=90°,AB=,AC=2,
∴BC=,
∵∠ACB=90°,m∥AC,
∴∠A'BC=90°,
∴cos∠A'CB=,
∴∠A'CB=30°,
∴∠ACA'=60°;
(2)∵M為A'B'的中點,
∴∠A'CM=∠MA'C,
由旋轉(zhuǎn)可得,∠MA'C=∠A,
∴∠A=∠A'CM,
∴tan∠PCB=tan∠A,
∴,
∵∠BQC=∠BCP=∠A,
∴tan∠BQC=tan∠A=,
∴BQ=BC×=2,
∴PQ=PB+BQ=;
(3)∵S四邊形PA'B′Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ﹣,
∴S四邊形PA'B′Q最小,即S△PCQ最小,
∴,
法一:(幾何法)取PQ的中點G,
∵∠PCQ=90°,
∴CG=PQ,即PQ=2CG,
當CG最小時,PQ最小,
∴CG⊥PQ,即CG與CB重合時,CG最小,
∴CGmin=,PQmin=2,
∴S△PCQ的最小值=3,S四邊形PA'B′Q=3﹣;
法二(代數(shù)法)設(shè)PB=x,BQ=y,
由射影定理得:xy=3,
∴當PQ最小時,x+y最小,
∴(x+y)2=x2+2xy+y2=x2+6+y2≥2xy+6=12,
當x=y=時,“=”成立,
∴PQ=+=2,
∴S△PCQ的最小值=3,S四邊形PA'B′Q=3﹣.
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【題目】已知一次函數(shù)y=ax+b過一,二,四象限,且過(6,0),則關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+bx+1的以下說法:①圖象與x軸有兩個交點;②a<0,b>0;③當x=3時函數(shù)有最小值;④若存在一個實數(shù)m,當x≤m時,y隨x的增大而增大,則m≤3.其中正確的是( )
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ②③④
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【題目】問題背景(1)如圖1,△ABC中,DE∥BC分別交AB,AC于D,E兩點,過點E作EF∥AB交BC于點F.請按圖示數(shù)據(jù)填空:△EFC的面積__________,△ADE的面積______________.
探究發(fā)現(xiàn)(2)在(1)中,若BF=m,FC=n,DE與BC間的距離為.請證明.
拓展遷移(3)如圖2,□DEFG的四個頂點在△ABC的三邊上,若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為3、7、5,試利用(2)中的結(jié)論求△ABC的面積.
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【題目】如圖1,等邊△ABD與等邊△CBD的邊長均為2,將△ABD沿AC方向向右平移k個單位到△A′B′D′的位置,得到圖2,則下列說法:①陰影部分的周長為4;②當k=時,圖中陰影部分為正六邊形;③當k=時,圖中陰影部分的面積是;正確的是( )
A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③
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【題目】問題發(fā)現(xiàn):
()如圖①,中,,,,點是邊上任意一點,則的最小值為__________.
()如圖②,矩形中,,,點、點分別在、上,求的最小值.
()如圖③,矩形中,,,點是邊上一點,且,點是邊上的任意一點,把沿翻折,點的對應點為點,連接、,四邊形的面積是否存在最小值,若存在,求這個最小值及此時的長度;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在中,,平分交于點,為上一點,經(jīng)過點,的分別交,于點,,連接交于點.
(1)求證:是的切線;
(2)設(shè),,試用含的代數(shù)式表示線段的長;
(3)若,,求的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中有一直角三角形AOB,O為坐標原點,OA=1,tan∠BAO=3,將此三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點,其橫坐標為t,設(shè)拋物線對稱軸l與x軸交于一點E,連接PE,交CD于F,求以C、E、F為頂點三角形與△COD相似時點P的坐標.
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【題目】某農(nóng)戶承包荒山種植某產(chǎn)品種蜜柚已知該蜜柚的成本價為8元千克,投入市場銷售時,調(diào)查市場行情,發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會虧本,且每天銷量千克與銷售單價元千克之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
當該品種蜜柚定價為多少時,每天銷售獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點D在⊙O上,OC∥AD交⊙O于E, 點F在CD延長線上, 且∠BOC+∠ADF=90°.
(1)求證:;
(2)求證:CD是⊙O的切線.
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