Question

17．如圖，平行四邊形ABCD中．AC=$\sqrt{2}$AB，求證：∠ABD=∠DAC．

Answer 1

分析 根據AC=$\sqrt{2}$AB證明$\frac{AO}{AB}=\frac{AB}{AC}$，從而可證得△AOB∽△ABC，得對應角相等，同時再利用平行線所截的內錯角相等得出結論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC=2AO，AD∥BC，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AB}{\sqrt{2}AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{AB}{AC}$，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，
∴∠ABD=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠ABD=∠DAC．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形邊、角、對角線的關系；在證明兩角相等時，除了運用平行線、全等三角形外，還可以證明兩三角形相似，得對應角相等．