Question

12．如圖，∠ABD和∠BDC的平分線交于點(diǎn)E，BE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F，且∠1+∠2=90°．求證：
（1）AB∥CD；   
（2）猜想∠2 與∠3的關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得兩直線平行．
（2）已知∠1+∠2=90°，即∠BED=90°，那么∠3+∠FDE=90°，將等角代換，即可得出∠3與∠2的數(shù)量關(guān)系．

解答 證明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠2=$\frac{1}{2}$∠BDC；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=180°；
∴AB∥CD；（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

（2）∠2+∠3=90°．
理由：∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠FDE；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=∠DEF=90°；
∴∠3+∠FDE=90°；
∴∠2+∠3=90°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及平行線的判定，難度不大．解題的關(guān)鍵是掌握角平分線定義和平行線的判定方法．