Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的圖象經(jīng)過點B（12,0）和C（0，－6），對稱軸為x＝2．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點D在線段AB上且AD＝AC，若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的結(jié)論下，直線x＝1上是否存在點M使，△MPQ為等腰三角形？若存在，請寫出所有點M的坐標（請直接寫出答案），若不存在，請說明理由．

【提示：拋物線（≠0）的對稱軸是頂點坐標是】

Answer 1

解：(1)∵拋物線過C(0,-6)

∴c=－6, 即y=ax²+bx－6…………………1分

                                     

…………………2分

解得：a= ,b=－ 

∴該拋物線的解析式為…………4分

（2）存在…………………5分

設(shè)直線CD垂直平分PQ,

在Rt△AOC中，AC==10=AD…………………6分

∴點D在對稱軸上，連結(jié)DQ  顯然∠PDC=∠QDC，

由已知∠PDC=∠ACD，

∴∠QDC=∠ACD，

∴DQ∥AC，                    …………………7分

∴

∵AB=20，AD=10

 ∴DB=AB－AD=20-10=10=AD

∴

∴

∴DQ為△ABC的中位線，…………………8分

∴DQ=AC=5.

AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5

∴t=5÷1=5(秒)             …………………9分

∴存在t=5(秒)時，線段PQ被直線CD垂直平分,

在Rt△BOC中, BC=…………………10分 

 ∴CQ=

∴點Q的運動速度為每秒單位長度. …………………11分

（本小題還可以連接DQ，PC，證明△APC≌△DQB，得到PA=PD=DQ，步驟參照上述標準給分）

（3）存在這樣的五點：M₁(1, －3),  M₂（1，）,  M₃（1，－）,

  M₄(1, ),M₅((1, )