Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m．M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1m/s；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2m/s．運動時間為t s．
（1）求△ABC的周長和面積；
（2）當(dāng)t為何值時，∠AMN=∠ANM？
（3）當(dāng)t為何值時，△AMN與△ABC相似？
（4）在運動的過程中，會不會出現(xiàn)直線MN既平分△ABC的面積又平分△ABC的周長的情況？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用勾股定理根據(jù)∠C=90°，BC=5m，AC=12m，求出AB=13m，再分別列式計算即可，
（2）先求出AM=12-t，AN=2t，再根據(jù)∠AMN=∠ANM得出AM=AN，從而得出12-t=2t，再求出t=4 即可，
（3）分兩種情況討論：①△AMN∽△ABC，則有

AM

AB

=

AN

AC

，即

12-t

13

=

2t

12

，②△ANM∽△ACB，則

AN

AB

=

AM

AC

，即

12-t

12

=

2t

13

，再分別計算即可，
（4）假設(shè)直線MN能同時平分△ABC周長和面積，得出2t+12-t=15，求出t=3，則AM=9，AN=6，作NP⊥AC，垂足為P，根據(jù)△ANP∽△ABC，求出

6

13

=

NP

5

，從而得出t=

30

13

＜6.5，最后根據(jù)△ANP的面積為

135

13

＜15，不是△ABC面積的一半，即可得出不能．

解答：解：（1）∵∠C=90°，BC=5m，AC=12m，
∴AB²=BC²+AC²=169，
∴AB=13m，
∴△ABC的周長是：5+12+13=30m，
面積是：

1

2

×5×12=30m²；

（2）∵從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為t秒．
∴AM=12-t，AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN，從而12-t=2t
解得：t=4 秒，
∴當(dāng)t為4時，∠AMN=∠ANM．

（3）分兩種情況討論：
①如圖1，△AMN∽△ABC，
則有

AM

AB

=

AN

AC

，即

12-t

13

=

2t

12

，
解得：t=

72

19

＜6.5，符合題意；
如圖2，△ANM∽△ACB，
則

AN

AB

=

AM

AC

，即

12-t

12

=

2t

13

，
解得：t=

156

37

＜6.5，符合題意；
綜上所述，當(dāng)t=

72

19

和t=

156

37

時，△AMN與△ABC相似；

（4）假設(shè)直線MN能同時平分△ABC周長和面積，則AN=AM=15，即：
2t+12-t=15，
解得：t=3；
此時AM=9，AN=6，
如圖3：
作NP⊥AC，垂足為P，
則△ANP∽△ABC，

AN

AB

=

NP

BC

，即：

6

13

=

NP

5

，
解得：t=NP=

30

13

＜6.5，符合題意，
∵此時△ANP的面積為

1

2

×9×

30

13

=

135

13

＜15，不是△ABC面積的一半，
∴不能．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積，關(guān)鍵是做出輔助線構(gòu)造相似三角形，注意分類討論思想的應(yīng)用．