【題目】如圖,O是△ABC內一點,⊙O與BC相交于F、G兩點,且與AB、AC分別相切于點D、E,DE∥BC.連接 DF、EG.
(1)求證:AB=AC.
(2)已知 AB=5,BC=6.求四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑.
【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑為.
【解析】
(1)由切線長定理可知AD=AE,易得∠ADE=∠AED,因為DE∥BC,由平行線的性質得∠ADE=∠B,∠AED=∠C,可得∠B=∠C,易得AB=AC;
(2)如圖,連接AO,交DE于點M,延長AO交BC于點N,連接OE、DG,設⊙O半徑為r,由△AOD∽△ABN得,得到AD=r,再由△GBD∽△ABN得,列出方程即可解決問題.
(1)證明:∵AD、AE是⊙O的切線,
∴AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC;
(2)如圖,連接AO,交DE于點M,延長AO交BC于點N,連接OE、DG,設⊙O半徑為r,
∵四邊形DFGE是矩形,
∴∠DFG=90°,
∴DG是⊙O直徑,
∵⊙O與AB、AC分別相切于點D、E,
∴OD⊥AB,OE⊥AC,
∵OD=OE.
∴AN平分∠BAC,∵AB=AC,
∴AN⊥BC,BN=BC=3,
在Rt△ABN中,AN=,
∵OD⊥AB,AN⊥BC,
∴∠ADO=∠ANB=90°,
∵∠OAD=∠BAN,
∴△AOD∽△ABN,
∴,即,
∴AD=r,
∴BD=AB﹣AD=5﹣r,
∵OD⊥AB,
∴∠GDB=∠ANB=90°,
∵∠B=∠B,
∴△GBD∽△ABN,
∴,即,
∴r=,
∴四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑為
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【題目】(1)化簡;
(2)如圖,已知△ABC,按如下步驟作圖:
①分別以A,C為圓心,大于AC的長為半徑畫弧,兩弧交于P, Q兩點;
②作直線PQ,分別交AB,AC于點E,D;
③過C作CF∥AB交PQ于點F.
求證:△AED≌△CFD;
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【題目】《基礎教育課程改革綱要》要求每位學生每學年都要參加社會實踐活動。某學校組織了一次戶外攀巖活動,如圖,攀巖墻體近似看作垂直于地面,一學生攀到D點時,距離地面B點3.6米,該學生繼續(xù)向上很快就攀到頂點E。在A處站立的帶隊老師拉著安全繩,分別在點D和點E測得點C的俯角是45°和60°,帶隊老師的手C點距離地面1.6米,請求出攀巖的頂點E距離地面的高度為多少米?(結果可保留根號)
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【題目】一不透明的布袋里,裝有紅、黃、藍三種顏色的小球(除顏色外其余都相同),其中有紅球2個,藍球1個,黃球若干個,現從中任意摸出一個球是紅球的概率為.
(1)求口袋中黃球的個數;
(2)甲同學先隨機摸出一個小球(不放回),再隨機摸出一個小球,請用“樹狀圖法”或“列表法”,
求兩次摸 出都是紅球的概率;
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,平行四邊形ABOC如圖放置,將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°得到平行四邊形A′B′OC′.拋物線y=﹣x2+2x+3經過點A、C、A′三點.
(1)求A、A′、C三點的坐標;
(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△C′OD的面積;
(3)點M是第一象限內拋物線上的一動點,問點M在何處時,△AMA′的面積最大?最大面積是多少?并寫出此時M的坐標.
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【題目】如圖,已知AC是⊙O的直徑,B為⊙O上一點,D為的中點,過D作EF∥BC交AB的延長線于點E,交AC的延長線于點F.
(Ⅰ)求證:EF為⊙O的切線;
(Ⅱ)若AB=2,∠BDC=2∠A,求的長.
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【題目】如圖所示,某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED,從辦公大樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°,旗桿低端D到大樓前梯砍底邊的距離DC是20米,梯坎坡長BC是12米,梯坎坡度i=1:,則大樓AB的高度為_________米.
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【題目】某學校開展以素質提升為主題的研學活動,推出了以下四個項目供學生選擇:A.模擬駕駛;B.軍事競技;C.家鄉(xiāng)導游;D.植物識別.學校規(guī)定:每個學生都必須報名且只能選擇其中一個項目.八年級(3)班班主任寧老師對全
班學生選擇的項目情況進行了統(tǒng)計,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結合統(tǒng)計圖中的信息,解決下列問題:
(1)八年級(3)班學生總人數是多少,并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)寧老師發(fā)現報名參加“植物識別”的學生中恰好有兩名男生,現準備從這組學生中任意挑選兩名擔任活動記錄員,那么恰好選1名男生和1名女生擔任活動記錄員的概率;
(3)若學校學生總人數為2000人,根據八年級(3)班的情況,估計全校報名軍事競技的學生有多少人?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】現有三張分別畫有正三角形、平行四邊形、菱形圖案的卡片,它們除圖案外完全相同,把卡片背面朝上洗勻,從中隨機抽取一張后放回,再背面朝上洗勻,從中隨機抽取一張,則兩次抽出的每一張卡片的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是_____.
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