Question

【題目】如圖，O是△ABC內一點，⊙O與BC相交于F、G兩點，且與AB、AC分別相切于點D、E，DE∥BC．連接 DF、EG．

（1）求證：AB＝AC．

（2）已知 AB＝5，BC＝6．求四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑為.

【解析】

（1）由切線長定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因為DE∥BC，由平行線的性質得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；

（2）如圖，連接AO，交DE于點M，延長AO交BC于點N，連接OE、DG，設⊙O半徑為r，由△AOD∽△ABN得，得到AD=r，再由△GBD∽△ABN得，列出方程即可解決問題．

（1）證明：∵AD、AE是⊙O的切線，

∴AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC；

（2）如圖，連接AO，交DE于點M，延長AO交BC于點N，連接OE、DG，設⊙O半徑為r，

∵四邊形DFGE是矩形，

∴∠DFG＝90°，

∴DG是⊙O直徑，

∵⊙O與AB、AC分別相切于點D、E，

∴OD⊥AB，OE⊥AC，

∵OD＝OE．

∴AN平分∠BAC，∵AB＝AC，

∴AN⊥BC，BN＝BC＝3，

在Rt△ABN中，AN＝，

∵OD⊥AB，AN⊥BC，

∴∠ADO＝∠ANB＝90°，

∵∠OAD＝∠BAN，

∴△AOD∽△ABN，

∴，即，

∴AD＝r，

∴BD＝AB﹣AD＝5﹣r，

∵OD⊥AB，

∴∠GDB＝∠ANB＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△GBD∽△ABN，

∴，即，

∴r＝，

∴四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑為