Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到平行四邊形A′B′OC′．拋物線y＝﹣x2+2x+3經(jīng)過點(diǎn)A、C、A′三點(diǎn)．

（1）求A、A′、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△C′OD的面積；

（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時(shí)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣1，0），A′（3，0），A（0，3）；（2）；（3）S△AMA′＝＝﹣（m﹣）2+，∴當(dāng)m＝時(shí)，S△AMA'的值最大，最大值為，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

【解析】

（1）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題可求出C（﹣1，0），A′（3，0）；計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到A（0，3）；

（2）先由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥OC，AB＝OC，易得B（1，3），根據(jù)勾股定理和三角形面積公式得到OB＝，S△AOB＝，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，接著證明△C′OD∽△BOA，利用相似三角形的性質(zhì)得＝()2，則可計(jì)算出S△C′OD；

（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y軸交直線AA′于N，求出直線AA′的解析式為y＝﹣x+3，則N（m，﹣m+3），于是可計(jì)算出MN＝﹣m2+3m，再利用S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′和三角形面積公式得到S△AMA′＝﹣m2+m，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出△AMA′的面積最大值，同時(shí)即可確定此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，

解得x1＝3，x2＝﹣1，

則C（﹣1，0），A′（3，0），

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則A（0，3）；

（2）∵四邊形ABOC為平行四邊形，

∴AB∥OC，AB＝OC，

而C（﹣1，0），A（0，3），

∴B（1，3），

∴OB＝＝，S△AOB＝×3×1＝，

又∵平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)90°得平行四邊形A′B′OC′，

∴∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，

又∵∠ACO＝∠ABO，

∴∠ABO＝∠OC′D．

又∵∠C′OD＝∠AOB，

∴△C′OD∽△BOA，

∴＝()2＝（）2＝ ，

∴S△C′OD＝×＝；

（3）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，

作MN∥y軸交直線AA′于N，易得直線AA′的解析式為y＝﹣x+3，則N（m，﹣m+3），

∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′

＝MN3

＝（﹣m2+3m）

＝﹣m2+m

＝﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)m＝時(shí)，S△AMA'的值最大，最大值為，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．