Question

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，⊙O與AB、AC分別相切于D、E兩點(diǎn)，連接BO并延長交AC于P，且AP=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：連接OD，OE，AO．先由切線的性質(zhì)得出OD⊥AB，OE⊥AC，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得BC=6，再證明BC=PC，所以可求∠BPC=45°．設(shè)⊙O的半徑是r，根據(jù)三角形ABP的面積的兩種表示方法，得2r+10r=12，解方程即可求解．

解答：解：如圖，連接OD，OE，AO，設(shè)⊙O的半徑是r．
∵⊙O與AB、AC分別相切于D、E兩點(diǎn)，
∴OD⊥AB，OE⊥AC．
∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵PC=8-2=6，
∴BC=PC，
∴∠BPC=45°，
∴S_△APB=S_△APO+S_△AOB=S_△ABC-S_△BCP，
即

1

2

×2r+

1

2

×10r=

1

2

×6×8-

1

2

×6×6，
2r+10r=12，
解得r=1．
所以⊙O的半徑是1．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，熟練運(yùn)用勾股定理，根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)特殊直角三角形，運(yùn)用三角形面積的不同表示方法列方程求解是解題的關(guān)鍵．