Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)）．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD∥軸，交直線AC于點(diǎn)D；作PE∥x軸，交直線AC于點(diǎn)E，以PD，PE為邊的矩形PEFD，問矩形PEFD周長是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）在問題（2）的條件下，P點(diǎn)滿足∠DAP=90°，且點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x24x＋3（2）存在，當(dāng)P（，-），矩形PEFD周長最大值為9（3）F1（2，1），F2（2＋，1）．

【解析】

（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后將函數(shù)圖象經(jīng)過的C點(diǎn)坐標(biāo)代入上式中，即可求出拋物線的解析式；

（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，可知△AOC是等腰直角三角形，再求出直線AC的解析式，由題意可知矩形PEFD為正方形，故矩形PEFD周長等于4DP，設(shè)P（x, x24x＋3）,再表示出D點(diǎn)坐標(biāo)及DP的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值；

（3）根據(jù)∠DAP=90°，過P點(diǎn)作AP⊥AC于拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知：P、F的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可據(jù)此求出F點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，1），

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x2）21，

將C（0，3）代入上式，得：

3＝a（02）21，a＝1；

∴y＝（x2）21，即y＝x24x＋3；

（2）令y=0，即x24x＋3=0

解得x1=1,x2=3

∴A（3,0）

∴CO=AO

∴△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=45°

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），

把A（3,0），C（0，3）代入得

解得

∴直線AC的解析式為y=-x+3

∵PE∥x軸，

∴∠DPE=∠CAO=45°

∴∠EDP=90°-∠DPE=45°

∴DP=PE

故矩形PEFD為正方形，

設(shè)P（x, x24x＋3）,則D（x，-x+3）

∴DP=（-x+3）-（x24x＋3）=-x2+3x

∴矩形PEFD周長C=4DP=-4x2+12x=-4(x2-3x)= -4(x-)2+9

故存在當(dāng)x=時(shí)，即P（，-），矩形PEFD周長最大值為9；

（3）如圖，過P點(diǎn)作AP⊥AC于拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)∠DAP=90°，

∵直線AC的解析式為y=-x+3

∴可設(shè)直線AP的解析為y=x+p

把A（3,0）代入得0=3+p

解得p=-3

∴直線AP的解析為y=x-3

聯(lián)立

解得x1=3,y=0或x=2，y=-1

∴P（2,-1）

∵A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形

∴P、F的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

∴可設(shè)F（x，1），代入拋物線可得x24x＋3＝1，

解得x1＝2，x2＝2＋；

∴符合條件的F點(diǎn)有兩個(gè)，

即F1（2，1），F2（2＋，1）．