Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知直角梯形OABC的頂點(diǎn)分別是O（0，0），點(diǎn)A（9，0），B（6，4）．點(diǎn)P從點(diǎn)C沿C-B-A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q從A向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

 

，

 

）；
（2）點(diǎn)P和點(diǎn)Q先到達(dá)終點(diǎn)是點(diǎn)

 

；到達(dá)終點(diǎn)時(shí)t的值是

 

秒；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在符合題意的t的值，使線段PQ=5？如果存在，求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在符合題意的t的值，使直角梯形OABC被直線PQ分成的兩個(gè)部分面積之比為1：2？如果存在，求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)BC∥OA，即可求得C的坐標(biāo)；
（2）求出BC，AB的長度，AQ的長度，即可求得從出發(fā)點(diǎn)到終點(diǎn)的時(shí)間；
（3）P從C到B所用的時(shí)間是：3秒，即可求得t的范圍，作PD⊥OA于點(diǎn)D，在直角△PDQ中利用勾股定理即可列方程求得t的值；
（4）首先求得梯形ABCO的面積，根據(jù)直角梯形ABCO被直線PQ分成的兩個(gè)部分面積之比為1：2，即可求得直角梯形QPCO的面積，利用時(shí)間t表示出直角梯形QPCO的面積，即可列方程求解．

解答：解：（1）C的坐標(biāo)是（0，4）；
（2）AB=5，BC+BA=11，OA=9，

11

2

=5.5，
∴點(diǎn)P首先到達(dá)，到達(dá)的時(shí)間是5.5秒；
（3）P從C到B所用的時(shí)間是：

6

2

=3（秒），
在3秒內(nèi)，Q從A到（6，0），則P一定在Q的左邊．
設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，則CP=2t秒，AQ=t秒，
如圖1，作PD⊥OA于點(diǎn)D，則D的坐標(biāo)是（2t，0），PD=OC=4，
DQ=OA-OD-AQ=9-2t-t=9-3t，
在直角△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，即16+（9-3t）²=25，
解得：t=2或4（舍去）．
故當(dāng)t=2時(shí)，PQ=5；
（4）如圖2．
∵A（9，0），B（6，4），
∴BC=6，OA=9，CO=4，
∴S_{直角梯形ABCO}=

1

2

（BC+OA）•OC=

1

2

（6+9）×4=30，
設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，則CP=2t秒，AQ=t秒，則OQ=9-t，
則S_梯形QPCO=

1

2

（PC+OQ）•OC=

1

2

（2t+9-t）×4=2t+18．
當(dāng)S_梯形QPCO=

1

3

S_{直角梯形ABCO}=

1

3

×30=10時(shí)，2t+18=10，
解得：t=-4（舍去）；
當(dāng)S_梯形QPCO=

2

3

S_{直角梯形ABCO}=

2

3

×30=20時(shí)，2t+18=20，解得：t=1．
則當(dāng)t=1時(shí)，直角梯形OABC被直線PQ分成的兩個(gè)部分面積之比為1：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形和列方程解應(yīng)用題，正確利用時(shí)間t表示出圖形中線段的長度以及梯形的面積是關(guān)鍵．