Question

如圖，直線y=-

1

2

x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B、C和點A（-1，0）．
（1）求B、C兩點坐標(biāo)；
（2）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點D，則在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（4）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分別令解析式y(tǒng)=-

1

2

x+2中x=0和y=0，求出點B、點C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，將點A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，求出a、b、c的值，進(jìn)而求得解析式；
（3）由（2）的解析式求出頂點坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于P₁，以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P₂，P₃，作CE垂直于對稱軸與點E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；
（4）設(shè)出E點的坐標(biāo)為（a，-

1

2

a+2），就可以表示出F的坐標(biāo)，由四邊形CDBF的面積=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=4，
即點B（4，0），C（0，2）；

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
將點A、B、C的坐標(biāo)代入解析式得，

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得：

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
即該二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（3）∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∴y=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴拋物線的對稱軸是x=

3

2

．
∴OD=

3

2

．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=

5

2

．
∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．
如圖1所示，作CE⊥對稱軸于E，
∴EP₁=ED=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（

3

2

，4），P₂（

3

2

，

5

2

），P₃（

3

2

，-

5

2

）；

（4）當(dāng)y=0時，0=-

1

2

x²+

3

2

x+2
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）．
∵直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+2．
如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，-

1

2

a+2），F(xiàn)（a，-

1

2

a²+

3

2

a+2），
∴EF=-

1

2

a²+

3

2

a+2-（-

1

2

a+2）=-

1

2

a²+2a（0≤x≤4）．
∵S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=

1

2

BD•OC+

1

2

EF•CM+

1

2

EF•BN，
=

1

2

+

1

2

a（-

1

2

a²+2a）+

1

2

（4-a）（-

1

2

a²+2a），
=-a²+4a+

5

2

（0≤x≤4）．
=-（a-2）²+

13

2

∴a=2時，S_{四邊形CDBF的面積最大}=

13

2

，
∴E（2，1）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，四邊形的面積的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．