Question

如圖，已知直線y=2x+2交y軸于點A，交x軸于點B，直線l：y=-3x+9
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的函數(shù)關系式，并指出此函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大時，x的取值范圍；
（2）若點E在（1）中的拋物線上，且四邊形ABCE是以BC為底的梯形，求梯形ABCE的面積；
（3）在（1）、（2）的條件下，過E作直線EF⊥x軸，垂足為G，交直線l于F．在拋物線上是否存在點H，使直線l、FH和x軸所圍成的三角形的面積恰好是梯形ABCE面積的

1

2

？若存在，求點H的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵直線AB的解析式為y=2x+2，
∴點A、B的坐標分別為A（0，2）、B（-1，0）；
又直線l的解析式為y=-3x+9，∴點C的坐標為（3，0）．
由上，可設經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點A的坐標代入，得：a=-

2

3

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
∴拋物線的對稱軸為x=1；
由于拋物線的開口向下，所以函數(shù)值隨x的增大而增大時，x的取值范圍是x≤1．

（2）過A作AE∥BC，交拋物線于點E；顯然，點A、E關于直線x=1對稱，
∴點E的坐標為E（2，2）；
故梯形ABCE的面積為 S=

1

2

（2+4）×2=6．

（3）假設存在符合條件的點H，作直線FH交x軸于M；
由題意知，S_△CFM=3，設F（m，n），易知m=2；
將F（2，n）的坐標代入y=-3x+9中，可求出n=3，則FG=3；
∴S_△CFM=

1

2

FG•CM=3，∴CM=2．
由C（3，0）知，M₁（1，0）、M₂（5，0），
設FM的解析式為y=kx+b：
由M₁（1，0）、F（2，3）得，F(xiàn)M₁解析式為y=3x-3，則FM₁與拋物線的交點H滿足：

y=3x-3 y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2

，
整理得，2x²+5x-15=0，
∴x=

-5± 145

4

，
由M₂（5，0）、F（2，3）得，F(xiàn)M₂解析式為y=-x+5，則FM₂與拋物線的交點H滿足：

y=-x+5 y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2

，整理得，2x²-7x+9=0，
∵△＜0，∴不符合題意，舍去；
即：H點的橫坐標為

-5± 145

4

．