【題目】已知拋物線y=-x2+bx+c的頂點P的坐標(biāo)為(n,n2+2n+1)(n≥1.

1)求bn,cn之間的關(guān)系式;

2)若拋物線y=-x2+bx+cx軸交于點AB(點A在點B的左邊),點PAB的距離等于線段AB長的2倍,求此拋物線y=-x2+bx+c的解析式;

3)設(shè)拋物線y=-x2+bx+cy軸交于點D,O為原點,矩形OEFD的頂點E,F分別在x軸和該拋物線上,當(dāng)矩形OEFD的面積為20時,求點P的坐標(biāo).

【答案】1b=2n,c=2n+1;(2此拋物線c的解析式為y=-x2+6x+7;(3P的坐標(biāo)為(2,9.

【解析】試題分析:1yP由定點P的坐標(biāo),可得拋物線的解析式為y=-x2+2nx+2n+1=-x2+bx+c,左右對照即可求出bc;

2)根據(jù)拋物線的解析式可求出AB的坐標(biāo),又點Px軸的距離為n2+2n+1,所以有n2+2n+1=2n+2,解方程求出n的值,進而可求出拋物線解析式;

3)根據(jù)已知條件可求出OD,DF的長,再根據(jù)矩形的面積公式可得:ODDF=2n2n+1=20,求出n的值,即可求出P的坐標(biāo).

試題解析:(1∵頂點P的坐標(biāo)為(n,n2+2n+1)(n≥1),

y=-x-n2+n2+2n+1=-x2+2nx+2n+1=-x2+bx+c,

b=2n,c=2n+1

2)當(dāng)y=0時,即-x2+2nx+2n+1=0.解得x1=-1x2=2n+1.

由于點A在點B的左邊,

∴點A的坐標(biāo)為(-10),點B 的坐標(biāo)為(2n+1,0),

AB=2n+1--1=2n+2;

又點Px軸的距離為n2+2n+1,

由題意可得n2+2n+1=2n+2.解得n=3n=-1(不合題意,舍去),

n=3;

∴此拋物線c的解析式為y=-x2+6x+7

3)如圖所示,∵c=2n+1,

∴點D的坐標(biāo)為(0,2n+1),OD=2n+1,

又∵DFx軸,且D,F關(guān)于直線x=n對稱,

F的坐標(biāo)為(2n,2n+1),

DF=2n.

由題意可得OD·DF=20,即2n2n+1=20,

解得n=2n=-2.5(不合題意,舍去),即n=2;

∴點P的坐標(biāo)為(29.

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