Question

如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為

2

的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，連接OD、BD、△BOD的外心I在中線BF上，BF與AD交于點(diǎn)E．
（1）求證：△OAD≌△EAB；
（2）求過點(diǎn)O、E、B的拋物線所表示的二次函數(shù)解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，其關(guān)于直線BF的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上？若有，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)可知BF垂直平分OD，然后求出∠ADO=∠ABE，再根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=AD，然后利用“角邊角”證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AO=AE，再根據(jù)軸對(duì)稱性求出OE=DE，然后根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)列方程求出AO，然后寫出點(diǎn)E、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱性可知BD與x軸關(guān)于BF對(duì)稱，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出BD的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵△BOD的外心I在中線BF上，
∴BF垂直平分OD，
∴∠ADO+∠AOD=∠ABE+∠AOD=90°，
∴∠ADO=∠ABE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△OAD和△EAB中，

∠ADO=∠ABE AB=AD ∠DAO=∠BAE=90°

，
∴△OAD≌△EAB（ASA）；

（2）∵△OAD≌△EAB，
∴AO=AE，
∵BF垂直平分OD，
∴OE=DE=

2

AO
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

2

，
∴AO+

2

AO=

2

，
解得AO=2-

2

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2-

2

，2-

2

），
∵OB=AO+AB=2-

2

+

2

=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx，
則

a(2- 2 )2+b(2- 2 )=2- 2 4a+2b=0

，
解得

a=- 2 2 b= 2

，
所以，二次函數(shù)解析式為y=-

2

2

x²+

2

x；

（3）∵BF垂直平分OD，
∴BD與x軸關(guān)于BF對(duì)稱，
∴點(diǎn)P為拋物線與直線BD交點(diǎn)，
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=0 (2- 2 )k+b= 2

，
解得

k=-1 b=2

，
所以，y=-x+2，
聯(lián)立

y=-x+2 y=- 2 2 x2+ 2 x

，
解得

x1= 2 y1=2- 2

，

x2=2 y2=0

（為點(diǎn)B，舍去），
∴拋物線上存在點(diǎn)P（

2

，2-

2

），其關(guān)于直線BF的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的外心的定義，（1）利用外心判斷出BF垂直平分OD是解題的關(guān)鍵，（3）判斷出點(diǎn)P為拋物線與直線BD交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．