Question

【題目】如圖1，⊙O的直徑AB為4，C為⊙O上一個(gè)定點(diǎn)，∠ABC=30°，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧 向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè))，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn).

（1）求證：△ABC∽△PDC
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，求CD的長；

（3）設(shè)CD的長為 .在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中， 的取值范圍為（請直接寫出案）.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠PCD，

又∵∠A=∠P，

∴△ABC∽△PDC

（2）解：∵∠ABC=30°，AB=4，

∴BC= ，

∵△ABC∽△PDC，

∴∠D=∠ABC=30°，

∴CD=6

（3）解：如圖，

∵AB是直徑，∠ABC=30°，AB=4

∴∠ACB=90°，∠A=∠P=60°，AC=2，

∵CD⊥PC，

∴∠PCD=90°，CD=PCtan60°，

∵PC的最小值=AC=2，PC的最大值為直徑=4，

∴CD的最小值為2 ，最大值為4 ，

∴2 ≤CD≤4

【解析】（1）利用圓周角定理，進(jìn)而用"兩角法"證出相似；（2）利用30度角的正切，由AB求出BC，再求出CD；（3）可用PC及三角函數(shù)表示出CD，當(dāng)PC最小時(shí)，CD最小，CD最大，PC最大.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用圓周角定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．