Question

如圖1，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，CD∥AB，點M、N是射線CD、線段AC上的動點，且AN=CM=t，ME∥BC交線段AC于點O，連接MN．
（1）用含t的代數(shù)式表示MO；
（2）求t為何值時，△MON的面積為

3

2

．
（3）連接NE，試求當(dāng)t為何值時，△MNE與△MON相似．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）證明四邊形BCMF是平行四邊形，ME=BC=6，∠ABC=∠CMO；證明CO=CM=AN=t，AO=AC-CO=5-t；證明

EO

BC

=

AO

AC

，即可解決問題．
（2）如圖2、圖3，作輔助線，證明△ACH∽△NOG，利用相似三角形的性質(zhì)求出OG（用t表示）的長度，根據(jù)面積公式列出方程即可解決問題．
（3）運用相似三角形的性質(zhì)，列出比例式構(gòu)造關(guān)于t的方程，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
∵CD∥AB，ME∥BC
∴四邊形BCMF是平行四邊形，
∴ME=BC=6，∠ABC=∠CMO；
∵M(jìn)E∥BC，
∴∠MOC=∠ACB，∠AOE=∠ACB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；
∴∠CMO=∠MOC，
∴CO=CM=AN=t，
∴AO=AC-CO=5-t；
∵M(jìn)E∥BC，
∴

EO

BC

=

AO

AC

，
∴

EO

6

=

5-t

5

，
∴EO=

6(5-t)

5

，
∴OM=ME-EO=6-

6(5-t)

5

=

6t

5

；

（2）如圖2，過點A作AH⊥BC于H，過點N作NG⊥EM于G，
則∠NGO=∠AHC=90°，
∵EM∥BC，
∴∠NOG=∠ACB，
∴△ACH∽△NOG，
∴

NG

AH

=

ON

AC

；
∵AB=AC=5，BC=6，
∴CH=

1

2

BC=3，∠ABC=∠ACB，
∴AH=

AC2-CH2

=4；
∵EM∥BC，
∴∠MOC=∠ACB，∠NOG=∠ACB；
∵AB∥CF，ME∥BC，
∴∠ABC=∠CME，
∴∠CME=∠MOC，
∴CO=CM=t，
①如圖2，當(dāng)0＜t＜

5

2

時，
NO=AC-AN-CO=5-2t，
∴

NG

4

=

5-2t

5

，
∴NG=

4(5-2t)

5

，
∴S=

1

2

•

6t

5

•

4(5-2t)

5

=

3

2

，
∴t=

5

4

，

②如圖3，當(dāng)

5

2

＜t＜5時，
NO=AN+CO-AC=2t-5，
∴

NG

4

=

2t-5

5

，
∴NG=

4(2t-5)

5

，
S=

1

2

•

6t

5

•

4(2t-5)

5

=

3

2

，
∴t=

5+5 2

4

，t=

5-5 2

4

（不符合題意，舍去），
∴當(dāng)t=

5

4

或t=

5+5 2

4

時，△MON的面積為

3

2

．

（3）如圖2，若△MNE∽△MON，
∴

MN

MO

=

ME

MN

，
∴MN²=MO•ME，
∵M(jìn)N²=MG²+NG²，MG=

1

2

BC=3，
∴[

4

5

（5-2t）]²+3²=

6

5

t×6，
解得t₁=

25

16

，t₂=

25

4

（不符合題意，舍去），
圖3的情況與圖2相同，
∴當(dāng)t=

25

16

時，△MNE與△MON相似．

點評：該題以三角形為載體，主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等重要幾何知識及其應(yīng)用問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．