Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+5與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，與x軸交于另一點(diǎn)A，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)Q在直線BC上方的拋物線上，連接QC，QB，當(dāng)△ABC與△QBC的面積比等于2：3時(shí)，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)H在x軸的負(fù)半軸，連接AQ，QH，當(dāng)∠AQH＝∠ACB時(shí)，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（2）點(diǎn)Q（﹣1，12）或（6，5）；（3）點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（﹣19，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）直線y=-x+5與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（5，0）、（0，5），即可求解；

（2）過點(diǎn)A作直線BC的平行線n交y軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M（0，1），則CM=5-1=4，在點(diǎn)C上方取CN=CM=6，過點(diǎn)N作直線m交拋物線于點(diǎn)Q（Q′），則點(diǎn)Q為所求，即可求解

（3）分點(diǎn)Q（6，5）、點(diǎn)Q（-1，12）兩種情況，分別求解即可．

解：（1）直線y＝﹣x+5與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（5，0）、（0，5），則c＝5，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b＝﹣6，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣6x+5；

（2）過點(diǎn)A作直線BC的平行線n交y軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M（0，1），則CM＝5﹣1＝4，

在點(diǎn)C上方取CN＝CM＝6，過點(diǎn)N作直線m交拋物線于點(diǎn)Q（Q′），則點(diǎn)Q為所求，

則點(diǎn)N（0，11），則直線m的表達(dá)式為：y＝﹣x+11…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣1或6，

故點(diǎn)Q（﹣1，12）或（6，5）；

（3）過點(diǎn)A作AK⊥BC于點(diǎn)K，

AB＝4，則AK＝BK＝，AC＝，

則sin∠ABC＝＝sinα，則tanα=；

①當(dāng)點(diǎn)Q（6，5）時(shí)，

過點(diǎn)H作HR⊥AQ交QA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

由點(diǎn)A、Q的坐標(biāo)知，tan∠QAB＝1＝tanβ，故β＝45°，AQ＝5，

則HR＝AR＝x，tan∠HQR＝tanα＝，

解得：x＝10，AH＝x＝20，

故點(diǎn)H（﹣19，0）；

②當(dāng)點(diǎn)Q（﹣1，12）時(shí)，

同理可得：點(diǎn)H（﹣，0）；

綜上，點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（﹣19，0）或（﹣，0）．