Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝﹣x﹣2相交于A（﹣2，0），B（m，﹣6）兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)C （5，0）．點(diǎn)P是直線下方的拋物線上異于A、B的動點(diǎn)．過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連結(jié)PA、PB、BD，當(dāng)S△ADBS△PAB時，求S△PAB；

（3）是否存在點(diǎn)P，使得△PBE為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣10；（2）S△PAB＝；（3）存在，滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣10）或（﹣1，6）．

【解析】

（1）因為拋物線經(jīng)過A（-2，0），C（5，0），可以假設(shè)拋物線的解析式y=a（x+2）（x-5），把B（4，-6）代入y=a（x+2）（x-5），可得a=1解決問題；

（2）設(shè)P（x，x2-3x-10），根據(jù)S△ADBS△PAB，構(gòu)建方程解決問題即可；

（3）分兩種情形：①∠PBE=90°．②∠BPE=90°．分別求解即可解決問題．

（1）將B（m，﹣6）代入y＝﹣x﹣2得-6＝﹣m﹣2，解得m=4 ，

∴B（4，﹣6），

∵拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），C（5，0），

∴可以假設(shè)拋物線的解析式y＝a（x+2）（x﹣5），

把B（4，﹣6）代入y＝a（x+2）（x﹣5），可得a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x﹣10．

（2）設(shè)P（x，x2﹣3x﹣10），

∵直線AB的解析式為y＝﹣x﹣2，

∴D（x，0），E（x，﹣x﹣2），

∴PE＝﹣x2+2x+8，

∵S△ADB═S△PAB，

∴×（x+2）×6＝××（﹣x2+2x+8）×6，

整理得：2x2﹣x﹣10＝0，

解得x＝或﹣2（舍去）．

∴PE＝，

∴S△PAB＝×6×＝．

（3）①當(dāng)∠PBE＝90°時，PB⊥AB，

∴設(shè)直線PB的解析式y＝x﹣b，

將B（4，﹣6）代入解得b=10，

∴直線PB的解析式y＝x﹣10，

由，解得或（舍去），

∴p（0，﹣10）．

②當(dāng)∠BPE＝90°時，PB∥x軸，

由﹣6＝x2﹣3x﹣10，解得x＝4（舍去）或﹣1，

∴p（﹣1，6），

綜上所述，滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣10）或（﹣1，6）．