Question

如圖，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C，D，F(xiàn)都在⊙O上，

AE

=

CD

，連接CE，M是CE的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)G，使得EG=DE，并且交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，此時(shí)F恰為AG的中點(diǎn)．
（1）若∠CDE=120°，CE=4

3

，求⊙O的周長(zhǎng)．
（2）求證：2FE=CE．
（3）試探索：在

AB

上是否存在一點(diǎn)N，使得四邊形NMEF是軸對(duì)稱圖形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OM，OC，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出半徑，再求周長(zhǎng)即可．
（2）連接AD，由中位線的性質(zhì)可得2EF=AD，由

AE

=

CD

，可得

AD

=

CE

，可得對(duì)應(yīng)的弦AD=CE，即可得出2FE=CE．
（3）連接FM，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥FM，由EF=EM，可得EN⊥FM，且平分FM，所以在

AB

上是存在一點(diǎn)N，使得四邊形NMEF是軸對(duì)稱圖形．

解答：解：（1）如圖1，連接OM，OC

∵∠CDE=120°，
∴∠CBE=60°，
∴∠COE=120°，
∵M(jìn)是CE的中點(diǎn)，
∴∠MOE=60°，∠OME=90°，
∵CE=4

3

，
∴EM=2

3

，
∴OE=4，
∴⊙O的周長(zhǎng)為2π×OE=8π．
（2）如圖2，連接AD，

∵F恰為AG的中點(diǎn)，EG=DE，
∴2EF=AD，
∵

AE

=

CD

，
∴

AD

=

CE

，
∴AD=CE，
∴2FE=CE．
（3）在

AB

上存在一點(diǎn)N，使得四邊形NMEF是軸對(duì)稱圖形，
理由如下：
如圖3，連接FM，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥FM，

∵EF=EM，由（1）可得，
∴EN⊥FM，且平分FM，
∴在

AB

上是存在一點(diǎn)N，使得四邊形NMEF是軸對(duì)稱圖形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，靈活運(yùn)用弦，圓周角，中垂線等知識(shí)．