Question

如圖，矩形ABCD，點E在BC上，連結AE，過A、B、E三點的⊙O交CD于F，且EF平分∠AEC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為8，CF+CE=6，求BE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠ABC=∠C=90°，推出AE是⊙O的直徑，求出∠OFE=∠FEC，推出OF∥BC，求出OF⊥CD，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）過O作OH⊥BE于H，求出BE=2HE，推出四邊形OHCF是矩形，得出OF=HC，OH=FC，設CE=x，則CF=6-x，在Rt△OHE中，由勾股定理得出（6-x）²+（4-x）²=16，求出方程的解即可．

解答：（1）證明：連接OF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，
∴AE是⊙O的直徑，
∴OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∴∠OFE=∠FEC，
∴OF∥BC，
∴∠OFD=90°，
即OF⊥CD，
∵OF為半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：過O作OH⊥BE于H，
則BE=2HE，
∵∠OHC=∠C=∠OFC=90°，
∴四邊形OHCF是矩形，
∴OF=HC，OH=FC，
設CE=x，則CF=6-x，在Rt△OHE中，由勾股定理得：（6-x）²+（4-x）²=16，
解得：x₁=5-

7

，x₂=5+

7

（舍去），
∴BE=2（4-x）=2

7

-2．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目比較好，難度偏大．