Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為長(zhǎng)方形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)．

（1）B的坐標(biāo)為_________；

（2）當(dāng)∠POD＝30°時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)△DPO是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) B(10,4);(2);(3) (3，4)或(2，4)或(8，4).

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=OC，BC=OA，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），得到10=4，OC=4，即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出OP=2OC，再利用勾股定理求解即可;(3)因?yàn)轭}中沒(méi)有指明△ODP的腰長(zhǎng)與底分別是哪個(gè)邊，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：(1) ∵四邊形OABC為長(zhǎng)方形，A(10，0), C(0，4),∴OA=CB=10,OC=AB=4,∴B(10,4);

(2) ∵四邊形OABC為長(zhǎng)方形, ∴∠COD=90°, ∵∠POD＝30°, ∴∠COP=60°, ∴∠OPC=30°, ∴OP=2OC,在RT△OCP中，OP-CP=OC=16即(2OC) -CP=16, ∴CP=;

(3) ∵A（10，0），C（0，4），
∴OC=4，OA=10，
∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD=5，

(1)OD是等腰三角形的底邊時(shí)，P就是OD的垂直平分線(xiàn)與CB的交點(diǎn)，此時(shí)OP=PD≠5；

(2)OD是等腰三角形的一條腰時(shí)：若點(diǎn)O是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就是以點(diǎn)O為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，

在直角△OPC中，CP==3，，則P的坐標(biāo)是(3，4)．

若D是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就是以點(diǎn)D為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，過(guò)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，

在直角△PDM中，PM= =3，

當(dāng)P在M的左邊時(shí)，CP=5-3=2，則P的坐標(biāo)是(2，4)；

當(dāng)P在M的右側(cè)時(shí)，CP=5+3=8，則P的坐標(biāo)是(8，4)．

故P的坐標(biāo)為：(3，4)或(2，4)或(8，4)．

故答案為：(3，4)或(2，4)或(8，4)．