Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

如圖①，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得四邊形的周長(zhǎng)最��？若存在，求出四邊形周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖②，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在線段上是否存在這樣的點(diǎn)，使為等腰三角形且為直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】 ．在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得四邊形的周長(zhǎng)最小，四邊形周長(zhǎng)的最小值為．在線段上存在這樣的點(diǎn)，使為等腰三角形且為直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）把點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解；

（2）A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC，則BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=BC，四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小值為：OC+OA+BC；根據(jù)勾股定理求得BC，即可求得；

（3）分兩種情況分別討論，即可求得．

由已知得解得．

所以，拋物線的解析式為．

∵、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖，連接，

∴與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，此時(shí)，

∴四邊形的周長(zhǎng)最小值為：，

∵、、，

∴，，，

∴；

∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得四邊形的周長(zhǎng)最小，四邊形周長(zhǎng)的最小值為．

∵、，

∴直線的解析式為，

①當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)，

∵，

∴只能，

∵軸，

∴，

∴，即，解得，

代入得，，解得，

∴；

②當(dāng)時(shí)，如圖，

∵，

∴只能，

設(shè)，

∴，

∵，，

∴，

∴，解得，

作，

∴，即，

∴，，

∴，

∴，

綜上，在線段上存在這樣的點(diǎn)，使為等腰三角形且為直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．