Question

如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點M，且M是CD的中點，點P在DC的延長線上，PE是⊙O的切線，E是切點，AE與CD相交于點F，PE與PF的大小有什么關(guān)系？為什么？

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)，由PE是⊙O的切線得到OE⊥PE，則∠1+∠2=90°；由于M是CD的中點，根據(jù)垂徑定理的推理得到OA⊥CD，所以∠A+∠3=90°，
加上∠1=∠A，利用等角的余角相等得到∠2=∠3，而∠3=∠4，所以∠2=∠4，于是根據(jù)等腰三角形的判定即可得到PE=PF．

解答：解：PE=PF．理由如下：
連接OE，如圖，
∵PE是⊙O的切線，
∴OE⊥PE，
∴∠1+∠2=90°，
∵M是CD的中點，
∴OA⊥CD，
∴∠A+∠3=90°，
而OA=OE，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠3，
而∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
∴PE=PF．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了垂徑定理的推理．