【題目】問題探究:
(1)已知:如圖①,△ABC中請你用尺規(guī)在BC邊上找一點D,使得點A到點BC的距離最短.
(2)托勒密(Ptolemy)定理指出,圓的內(nèi)接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.如圖②,P是正△ABC外接圓的劣弧BC上任一點(不與B、C重合),請你根據(jù)托勒密(Ptolemy)定理證明:PA=PB+PC
問題解決:
(3)如圖③,某學(xué)校有一塊兩直角邊長分別為30m、60m的直角三角形的草坪,現(xiàn)準(zhǔn)備在草坪內(nèi)放置一對石凳及垃圾箱在點P處,使P到A、B、C三點的距離之和最小,那么是否存在符合條件的點P?若存在,請作出點P的位置,并求出這個最短距離(結(jié)果保留根號);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)過點A作BC邊的垂線,垂足為D,點D即為所求,見解析;(2)證明見解析;(3)點P到A、B、C三點距離之和的最小值約是m.
【解析】
(1)過點A作AD⊥BC于D,點D即為所求.
(2)由托勒密定理得:PABC=BPAC+CPAB.再由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC=AC,代入即可得到結(jié)論.
(3)如圖③,以BC為邊向外作正ΔBCD,再作它的外接圓,連接AD,與外接圓交于點P,點P就是所要求作的位置.由托勒密定理得到PD=BP+PC,而三點A、P、D共線,因此點P到三個頂點的距離和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短.過點D作DE⊥AC,交其延長線于點E.由含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可得出結(jié)論.
(1)過點A作BC邊的垂線,垂足為D,點D即為所求,如圖①.
(2)如圖②,由托勒密定理得:PABC=BPAC+CPAB.
又∵ΔABC為等邊三角形,∴AB=BC=AC,∴APBC=(BP+CP)BC.
∴AP=BP+PC.
(3)如圖③,以BC為邊向外作正ΔBCD,再作它的外接圓,連接AD,與外接圓交于點P,點P就是所要求作的位置.
由托勒密定理得:PD=BP+PC,而三點A、P、D共線,因此點P到三個頂點的距離和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短.
過點D作DE⊥AC,交其延長線于點E.
∵BC=CD=30,∠DCE=30°,∴DE=15,CE=.
在RtΔADE中,由勾股定理得:
=,則點P到A、B、C三點距離之和的最小值約是m.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,點E在BD上;
(1)求證:FD=AB;(2)連接AF,求證:∠DAF=∠EFA.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,AB = AC,以AB為直徑的⊙O 分 別交AC,BC于點 D,E,過點B作⊙O的切線, 交 AC的延長線于點F.
(1) 求證:∠CBF =∠CAB;
(2) 若CD = 2,,求FC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,是邊上的動點,連結(jié).
(1)如圖,若,,求的長;
(2)如圖,若,是的中點,把繞點順時針旋轉(zhuǎn)度()后得到,連結(jié),點是中點.求證:是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,河流的兩岸PQ、MN互相平行,河岸PQ上有一排小樹,已知相鄰兩樹之間的距離CD=50米,某人在河岸MN的A處測得∠DAN=35°,然后沿河岸走了120米到達B處,測得∠CBN=70°.求河流的寬度CE(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字).(參考數(shù)據(jù):sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形的位置如圖所示,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,延長交軸于點,作正方形;延長交軸于點,作正方形……按這樣的規(guī)律進行下去,第1個正方形的面積為_____;第4個正方形的面積為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則正比例函數(shù)y=(b+c)x
的圖象與反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是【 】
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的圖像如圖,下列結(jié)論:①;②;③;④.正確的個數(shù)為( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請閱讀下列材料:
問題:如圖,在正方形和平行四邊形中,點,,在同一條直線上,是線段的中點,連接,.
探究:當(dāng)與的夾角為多少度時,平行四邊形是正方形?
小聰同學(xué)的思路是:首先可以說明四邊形是矩形;然后延長交于點,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過推理可以探索出問題的答案.
請你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決這個問題.
(1)求證:四邊形是矩形;
(2)與的夾角為________度時,四邊形是正方形.
理由:
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