【題目】如圖,已知拋物線y=﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,若已知B點的坐標(biāo)為B(8,0).
(1)求拋物線的解析式及其對稱軸方程;
(2)連接AC、BC,試判斷△AOC與△COB是否相似?并說明理由;
(3)M為拋物線上BC之間的一點,N為線段BC上的一點,若MN∥y軸,求MN的最大值;
(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1),對稱軸:;
(2)相似,理由見試題解析;
(3)4;
(4)Q1(3,0),Q2(3,)),Q3(3,).
【解析】
試題(1)把點B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b的值,即可得到拋物線解析式,再根據(jù)對稱軸方程列式計算即可得解;
(2)令y=0,解方程求出點A的坐標(biāo),令x=0求出y的值得到點C的坐標(biāo),再求出OA、OB、OC,然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例,夾角相等的兩個三角形相似證明;
(3)設(shè)直線BC的解析式為,利用待定系數(shù)法求出解析式,再表示出MN,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答;
(4)利用勾股定理列式求出AC,過點C作CD⊥對稱軸于D,然后分①AC=CQ時,利用勾股定理列式求出DQ,分點Q在點D的上方和下方兩種情況求出點Q到x軸的距離,再寫出點的坐標(biāo)即可;②點Q為對稱軸與x軸的交點時,AQ=CQ,再寫出點Q的坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)∵點B(8,0)在拋物線上,∴,解得,∴拋物線的解析式為,對稱軸為直線;
(2)△AOC∽△COB.理由如下:令y=0,則,即,解得,,∴點A的坐標(biāo)為(﹣2,0),令x=0,則y=4,∴點C的坐標(biāo)為(0,4),∴OA=2,OB=8,OC=4,∵=2,∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB;
(3)設(shè)直線BC的解析式為,則:,解得:,∴直線BC的解析式為,∵M(jìn)N∥y軸,∴MN===,∴當(dāng)x=4時,MN的值最大,最大值為4;
(4)由勾股定理得,AC=,過點C作CD⊥對稱軸于D,則CD=3,①AC=CQ時,DQ===,
點Q在點D的上方時,點Q到x軸的距離為,此時點Q1(3,),
點Q在點D的下方時,點Q到x軸的距離為,此時點Q2(3,),
②點Q為對稱軸與x軸的交點時,AQ=5,CQ==5,∴AQ=CQ,此時,點Q3(3,0),
綜上所述,點Q的坐標(biāo)為(3,)或(3,)或(3,0)時,△ACQ為等腰三角形時.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明參加某個智力競答節(jié)目,答對最后兩道單選題就順利通關(guān).第一道單選題有3個選項,第二道單選題有4個選項,這兩道題小明都不會,不過小明還有一個“求助”沒有用(使用“求助”可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項).
(1)如果小明第一題不使用“求助”,那么小明答對第一道題的概率是 .
(2)如果小明將“求助”留在第二題使用,請用樹狀圖或者列表來分析小明順利通關(guān)的概率.
(3)從概率的角度分析,你建議小明在第幾題使用“求助”.(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,中學(xué)生的身體素質(zhì)普遍下降,某校為了提高本校學(xué)生的身體素質(zhì),落實教育部門“在校學(xué)生每天體育鍛煉時間不少于1小時”的文件精神,對部分學(xué)生的每天體育鍛煉時間進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計.以下是本次調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.
組別 | A | B | C | D | E |
時間t(分鐘) | t<40 | 40≤t<60 | 60≤t<80 | 80≤t<100 | t≥100 |
人數(shù) | 12 | 30 | a | 24 | 12 |
(1)求出本次被調(diào)查的學(xué)生數(shù);
(2)請求出統(tǒng)計表中a的值;
(3)求各組人數(shù)的眾數(shù);
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請你估計該校2400名學(xué)生中每天體育鍛煉時間不少于1小時的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=x2﹣2ax+b的頂點在x軸上,P(x1,m),Q(x2,m)(x1<x2)是此拋物線上的兩點.
(1)若a=1.
①當(dāng)m=b時,求x1,x2的值;
②將拋物線沿y軸平移,使得它與x軸的兩個交點間的距離為4,試描述出這一變化過程;
(2)若存在實數(shù)c,使得x1≤c﹣1,且x2≥c+7成立,則m的取值范圍是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時,△PAB的面積有最大值?
(3)過點P作x軸的垂線,交線段AB于點D,再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E,連結(jié)DE,請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩個全等的含30°角的直角三角板重疊在一起,如圖,將△A′B′C′繞AC的中點M轉(zhuǎn)動,斜邊A′B′剛好過△ABC的直角頂點C,且與△ABC的斜邊AB交于點N,連接AA′、C′C、AC′.若AC的長為2,有以下五個結(jié)論:①AA′=1;②C′C⊥A′B′;③點N是邊AB的中點;④四邊形AA′CC′為矩形;⑤A′N=B′C=,其中正確的有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)的圖象交x軸于A(﹣2,0)和點B,交y軸負(fù)半軸于點C,拋物線對稱軸為x=﹣,下列結(jié)論中,錯誤的結(jié)論是( )
A. abc>0
B. 方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣2,x2=1
C. b2﹣4ac>0
D. a=b
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O.
(1)畫出△AOB平移后的三角形,其平移后的方向為射線AD的方向,平移的距離為AD的長.
(2)觀察平移后的圖形,除了矩形ABCD外,還有一種特殊的平行四邊形?請證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC各頂點的坐標(biāo)分別為A(2,2),B(4,1),C(4,4).(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是 1個單位長度).
(1)畫出將△ABC繞點O 順時針旋轉(zhuǎn)90度得到的△A1B1C1;
(2)寫出A1、B1、C1的坐標(biāo);
(3)求出線段AC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積(結(jié)果保留).
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