Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+2 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB=4．矩形OADC的邊CD=1，延長DC交拋物線于點E．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P是直線EO 上方拋物線上的一個動點，作PH⊥EO，垂足為H，求PH的最大值；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，若四邊形ACMN是平行四邊形，求點M、N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；（2）當x=時，PH的值最大，最大值為；（3）N（1，0）．

【解析】分析：（1）利用矩形的性質(zhì)和AB＝4確定A（－1，0），B（3，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）先確定拋物線的對稱軸為直線x＝1，C（0，2），利用對稱性確定E（2，2），則可得到△OCE為等腰直角三角形，所以∠COE＝45°，作PQ∥y軸交直線OE于Q，如圖1，接著判斷△PQH為等腰直角三角形得到PH＝PQ，易得直線OE的解析式為y＝x，設(shè)P（x，x2＋x＋2），則Q（x，x），所以PQ＝x2＋x＋2，則PH＝(x2＋x＋2)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

（3）利用平行四邊形的性質(zhì)和點平移的規(guī)律得到點C向右平移2個單位可得到M點，則M點的橫坐標為2，從而可計算出M點的坐標，然后判斷CM∥x軸得到點N為對稱軸與x軸的交點，于是得到N點坐標．

詳解：（1）∵矩形OADC的邊CD＝1，

∴OA＝1，

而AB＝4，

∴OB＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x﹣3)，即y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣3a＝2，解得a＝，

∴拋物線解析式為y＝x2＋x＋2；

（2）拋物線的對稱軸為直線x＝1，

當x＝0時，y＝x2＋x＋2＝2，則C（0，2），

∵EC∥x軸，

∴點E與點C關(guān)于直線x＝1對稱，

∴E（2，2），

∵OC＝CE，

∴△OCE為等腰直角三角形，

∴∠COE＝45°，

作PQ∥y軸交直線OE于Q，如圖1，

∴∠PGH＝45°，

∵PH⊥OE，

∴△PQH為等腰直角三角形，

∴PH＝PQ，

易得直線OE的解析式為y＝x，

設(shè)P（x，x2＋x＋2），則Q（x，x），

∴PQ＝x2＋x＋2－x＝x2＋x＋2，

∴PH＝(x2＋x＋2)

＝x2＋x＋

＝(x﹣)2＋，

當x＝時，PH的值最大，最大值為；

（3）∵四邊形ACMN是平行四邊形，點A的橫坐標為－1，點N的橫坐標為1，

∴點A向右平移2個單位可得到N點，

∴點C向右平移2個單位可得到M點，

則M點的橫坐標為2，

當x＝2時，y＝x2＋x＋2＝2，則M（2，2），

∴CM∥x軸，

∴點N為對稱軸與x軸的交點，

∴N（1，0）．