【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.
(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP、OP、OA.
①求證:△OCP∽△PDA;
②若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長(zhǎng).
(2)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn),求∠OAB的度數(shù);
(3)如圖2,在(1)的條件下,擦去折痕AO,線段OP,連結(jié)BP,動(dòng)點(diǎn)M在線段AP⊥(點(diǎn)M與點(diǎn)F、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,說(shuō)明理由;說(shuō)明理由;若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度.
【答案】見解析
【解析】
(1)①根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠APO=∠B=90°,根據(jù)相似三角形的判定定理證明△OCP∽△PDA;
②根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答;
(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DAP=30°,根據(jù)折疊的性質(zhì)解答即可;
(3)作MQ∥AB交PB于Q,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)得到EF=PB,根據(jù)勾股定理求出PB,計(jì)算即可.
解:(1)①由折疊的性質(zhì)可知,∠APO=∠B=90°,
∴∠APD+∠OPC=90°,又∠POC+∠OPC=90°,
∴∠APD=∠POC,又∠D=∠C=90°,
∴△OCP∽△PDA;
②∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,
∴△OCP與△PDA的相似比為1:2,
∴PC=AD=4,
設(shè)AB=x,則DC=x,AP=x,DP=x﹣4,
在Rt△APD中,AP2=AD2+PD2,即x2+82=(x﹣4)2,
解得,x=10,即AB=10;
(2)∵點(diǎn)P是CD邊的中點(diǎn),
∴DP=DC,又AP=AB=CD,
∴DP=AP,
∴∠DAP=30°,
由折疊的性質(zhì)可知,∠OAB=∠OAP=30°;
(3)EF的長(zhǎng)度不變.
作MQ∥AB交PB于Q,
∴∠MQP=∠ABP,
由折疊的性質(zhì)可知,∠APB=∠ABP,
∴∠MQP=∠APB,
∴MP=MQ,又BN=PM,
∴MQ=BN,
∵M(jìn)Q∥AB,
∴,
∴QF=FB,
∵M(jìn)P=MQ,ME⊥BP,
∴PE=QE,
∴EF=PB,
由(1)得,PC=4,BC=8,
∴PB==4,
∴EF=2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某一出租車一天下午以銀泰城為出發(fā)地,在東西走向的馬路上營(yíng)運(yùn),如果規(guī)定向東行駛為正,行車?yán)锍蹋▎挝唬?/span>)依先后次序記錄如下:
,,,,,,,,,.
(1)將最后一名乘客送到目的地,出租車離銀泰城出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)?在銀泰城的什么方向?
(2)若每千米的價(jià)格為元,司機(jī)一個(gè)下午的營(yíng)業(yè)額為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)了正方形后,數(shù)學(xué)小組的同學(xué)對(duì)正方形進(jìn)行了探究,發(fā)現(xiàn):
(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)(點(diǎn)E不與B、C重合),點(diǎn)F在線段AE上,過(guò)點(diǎn)F的直線MN⊥AE,分別交AB、CD于點(diǎn)M、N . 此時(shí),有結(jié)論AE=MN,請(qǐng)進(jìn)行證明;
(2)如圖2:當(dāng)點(diǎn)F為AE中點(diǎn)時(shí),其他條件不變,連接正方形的對(duì)角線BD, MN 與BD交于點(diǎn)G,連接BF,此時(shí)有結(jié)論:BF= FG,請(qǐng)利用圖2做出證明.
(3)如圖3:當(dāng)點(diǎn)E為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),如果(2)中的其他條件不變,直線MN分別交直線AB、CD于點(diǎn)M、N,請(qǐng)你直接寫出線段AE與MN之間的數(shù)量關(guān)系、線段BF與FG之間的數(shù)量關(guān)系.
圖1 圖2 圖3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上的點(diǎn),若EF=EC,且EF⊥EC.
(1)求證:AE=DC;
(2)已知DC=,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A地在數(shù)軸上表示的數(shù)為-16,AB兩地相距50個(gè)單位長(zhǎng)度.小明從A地出發(fā)去B地,以每分鐘2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度行進(jìn),第一次他向左1單位長(zhǎng)度,第二次向右2單位長(zhǎng)度,第三次再向左3單位長(zhǎng)度,第四次又向右4單位長(zhǎng)度…,按此規(guī)律行進(jìn).
(1)求出B地在數(shù)軸上表示的數(shù);
(2)若B地在原點(diǎn)的右側(cè),經(jīng)過(guò)第8次行進(jìn)后小明到達(dá)點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B相距幾個(gè)單位長(zhǎng)度?8次運(yùn)動(dòng)完成后一共經(jīng)過(guò)了幾分鐘?
(3)若經(jīng)過(guò)n次(n為正整數(shù))行進(jìn)后,小明到達(dá)點(diǎn)Q,請(qǐng)你直接寫出:點(diǎn)Q在數(shù)軸上表示的數(shù)應(yīng)如何表示?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,F(xiàn)是BC上任意一點(diǎn),連接AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)E,連接EC.
(1)求證:AE=EC;
(2)當(dāng)∠ABC=60°,∠CEF=60°時(shí),點(diǎn)F在線段BC上的什么位置?說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如圖所示,現(xiàn)有下列結(jié)論:①b2﹣4ac>0;②2a+b=0;③a﹣b+c>0;④b+c>0;⑤4a+2b+c<0,則其中結(jié)論正確的是( )
A. ①③⑤ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是,,為數(shù)軸上三個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)速度為每秒個(gè)單位,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)速度為點(diǎn)的倍,點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)速度為每秒個(gè)單位.
若點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng),求多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)與點(diǎn)相距個(gè)單位?
若點(diǎn)同時(shí)都向右運(yùn)動(dòng),求多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等?
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