Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+m經(jīng)過E（2，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸與x軸的交于點(diǎn)是H，點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，連接FH．求線段FH的長；

（3）P為直線AE上方拋物線上的點(diǎn)．當(dāng)△AEP的面積最大時(shí)．求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；（2）；（3）當(dāng)t=時(shí)，S△PAE有最大值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（）

【解析】(1)、將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入解析式求出函數(shù)解析式；(2)、根據(jù)二次函數(shù)的解析式分別求出點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)H的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的求法得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出答案；(3)、過P作PG∥y軸，交直線AE于點(diǎn)G，首先利用待定系數(shù)法求出直線AE的函數(shù)解析式，設(shè)P（t，﹣（t﹣1）2+4），則G（t，t+1），根據(jù)三角形的面積等于鉛垂×水平÷2得出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值．

（1）∵y=﹣（x﹣1）2+m經(jīng)過E（2，3），∴3=﹣（2﹣1）2+m，解得m=4，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；

（2）在y=﹣（x﹣1）2+4中，令y=0可得﹣（x﹣1）2+4=0，解得x=3或x=﹣1，

∴A（﹣1，0），∵F是AE的中點(diǎn)，且E（2，3）∴F（，），

由拋物線解析式可求得拋物線對稱軸為x=1，∴H（1，0），

∴FH==；

（3）如圖，過P作PG∥y軸，交直線AE于點(diǎn)G，設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，

∴，解得，∴直線AE解析式為y=x+1，

∵P為直線AE上方拋物線上的點(diǎn)，∴設(shè)P（t，﹣（t﹣1）2+4），則G（t，t+1），

∴PG=﹣（t﹣1）2+4﹣（t+1）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，

∴S△PAE=PG[2﹣（﹣1）]= PG=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0， ∴當(dāng)t=時(shí)，S△PAE有最大值，此時(shí)P點(diǎn)坐為（）．