Question

已知，拋物線y=ax²+x+c的頂點(diǎn)為M（-1，-2），它與x軸交于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)）．

（1）求點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將這個拋物線的圖象沿x軸翻折，得到一個新拋物線，這個新拋物線與直線l：y=-4x+6交于點(diǎn)N．
①求證：點(diǎn)N是這個新拋物線與直線l的唯一交點(diǎn)；
②將新拋物線位于x軸上方的部分記為G，將圖象G以每秒1個單位的速度向右平移，同時也將直線l以每秒1個單位的速度向上平移，記運(yùn)動時間為t，請直接寫出圖象G與直線l有公共點(diǎn)時運(yùn)動時間t的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可以設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式方程為y=a（x+1）²-2，然后根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求a的值即可；
（2）①根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求得點(diǎn)新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)M′（-1，2）．則根據(jù)頂點(diǎn)式方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)可以求得新拋物線的解析式為y=-

1

2

x²-x+

3

2

．然后求新拋物線與直線l的交點(diǎn)即可；
②當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時產(chǎn)生第一個公共點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B時是最后一個公共點(diǎn)．

解答： 解：（1）∵拋物線y=ax²+x+c的頂點(diǎn)為M（-1，-2），
∴該拋物線的解析式為y=a（x+1）²-2．
即：y=ax²+2ax+a-2．
∴2a=1．
解得 a=

1

2

．
故該拋物線的解析式是：y=

1

2

x²+x-

3

2

．
當(dāng)y=0時，

1

2

x²+x-

3

2

=0．
解之得 x₁=-3，x₂=1．
∴B（-3，0），C（1，0）；

（2）①證明：將拋物線y=

1

2

x²+x-

3

2

沿x軸翻折后的圖象，即新圖象，仍過點(diǎn)B、C，其頂點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱，則M′（-1，2）．
設(shè)新拋物線的解析式為：y=a′（x+1）²+2．
∵y=a′（x+1）²+2過點(diǎn)C（1，0），
∴a′（1+1）²+2=0，
解得，a′=-

1

2

．
∴翻折后得到的新拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²-x+

3

2

．
當(dāng)-4x+6=

1

2

x²+x-

3

2

時，有：x²-6x+9=0，
解得，x₁=x₂=3，此時，y=-6．
∴新拋物線y=-

1

2

x²-x+

3

2

與直線l有唯一的交點(diǎn)N（3，-6）；

②

2

3

≤t≤6．
附解答過程：
∵點(diǎn)N是新拋物線y=-

1

2

x²-x+

3

2

與直線l有唯一的交點(diǎn)，
∴直線l與新拋物線y=-

1

2

x²-x+

3

2

在x軸上方部分（即G）無交點(diǎn)，
∴當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時產(chǎn)生第一個公共點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B時是最后一個公共點(diǎn)，
運(yùn)動t秒時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3+t，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+t，0），直線與x軸交點(diǎn)為（

6+t

4

，0）．
∵當(dāng)

6+t

4

=-3+t時，t=6
∴圖象G與直線l有公共點(diǎn)時，

2

3

≤t≤6．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和直線與拋物線的交點(diǎn)問題．在求有關(guān)于翻折變換的題目，一定要數(shù)形結(jié)合，這樣可以使抽象的問題變得具體化，降低了解題的難度與梯度．