Question

如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為a，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN=

 

；
②求證：PM+PN=3a；
（2）如圖2，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，連接OM、ON，求證：OM=ON；
（3）如圖3，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）①運(yùn)用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于點(diǎn)G，BH⊥MP于點(diǎn)H，CL⊥PN于點(diǎn)L，DK⊥PN于點(diǎn)K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，
（2）連接OE，由△OMA≌△ONE證明，
（3）連接OE，由△OMA≌△ONE，再證出△GOE≌△NOD，由△ONG是等邊三角形和△MOG是等邊三角形求出四邊形MONG是菱形．，

解答：解：（1）①∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，
∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°，
故答案為；60°．
②如圖1，作AG⊥MP交MP于點(diǎn)G，BH⊥MP于點(diǎn)H，CL⊥PN于點(diǎn)L，DK⊥PN于點(diǎn)K，
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN
∵正六邊形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，
∴GM=

1

2

AM，HP=

1

2

BP，PL=

1

2

PC，NK=

1

2

ND，
∵AM=BP，PC=DN，
∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．

（2）如圖2，連接OE，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM=BP=EN，
∵∠MAO=∠OEN=60°，OA=OE，
在△ONE和△OMA中，

OA=OE ∠MAO=∠OEN AM=EN

∴△OMA≌△ONE（SAS）
∴OM=ON．
（3）如圖3，連接OE，
由（2）得，△OMA≌△ONE
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四邊形AOEF是平行四邊形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GOE=60°-∠EON，∠DON=60°-∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和△DON中，

∠GOE=∠DON OE=OD ∠ODN=∠OEG

∴△GOE≌△NOD（ASA），
∴ON=OG，
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等邊三角形，
∴ON=NG，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，
∴△MOG是等邊三角形，
∴MG=GO=MO，
∴MO=ON=NG=MG，
∴四邊形MONG是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鞒鲚o助線，根據(jù)三角形全等找出相等的線段．