Question

研究幾何圖形，我們往往先給出這類圖形的定義，再研究它的性質(zhì)和判定．
定義：六個內(nèi)角相等的六邊形叫等角六邊形．
（1）研究性質(zhì)
①如圖1，等角六邊形ABCDEF中，三組正對邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．
②如圖2，等角六邊形ABCDEF中，如果有AB=DE，則其余兩組正對邊BC與EF，CD與AF相等嗎？證明你的結(jié)論．
③如圖3，等角六邊形ABCDEF中，如果三條正對角線AD，BE，CF相交于一點O，那么三組正對邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．
（2）探索判定
三組正對邊分別平行的六邊形，至少需要幾個內(nèi)角為120°，才能保證六邊形一定是等角六邊形？

Answer 1

考點：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),多邊形內(nèi)角與外角,平行四邊形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題,壓軸題,新定義,探究型

分析：（1）通過驗證容易得到猜想：三組正對邊分別平行．要證明兩條線段平行，只需證明同位角相等或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補，要證AB∥DE，只需連接AD，證明∠ADE=∠DAB即可，其它兩組同理可得．
（2）要證BC=EF，CD=AF，只需連接AE、BD，證明△AFE≌△DCB即可．
（3）由條件“三條正對角線AD，BE，CF相交于一點O”及（1）中的結(jié)論可證到

AB

ED

=

BC

EF

=

AF

DC

=

AB+AF

ED+DC

，將等角六邊形ABCDEF補成等邊三角形后，可以證到AB+AF=DE+DC，從而得到三組正對邊分別相等．
（4）若只有1個內(nèi)角為120°或有2個內(nèi)角為120°，可以通過舉反例說明該六邊形不一定是等角六邊形；若有3個內(nèi)角為120°，可以通過分類討論證明該六邊形一定是等角六邊形．

解答：解：（1）①結(jié)論：AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF．
證明：連接AD，如圖1，
∵六邊形ABCDEF是等角六邊形，∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B=

(6-2)•180°

6

=120°．
∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，∴∠DAF+∠EDA=360°-120°-120°=120°．
∵∠DAF+∠DAB=120°，∴∠DAB=∠EDA．∴AB∥DE．
同理BC∥EF，CD∥AF．
②結(jié)論：EF=BC，AF=DC．
證明：連接AE、DB，如圖2，
∵AB∥DE，AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．
∴AE=DB，∠EAB=∠BDE．
∵∠BAF=∠EDC．∴∠FAE=∠CDB．
在△AFE和△DCB中，

∠FAE=∠CDB ∠F=∠C AE=DB

．
∴△AFE≌△DCB．
∴EF=BC，AF=DC．
③結(jié)論：AB=DE，AF=DC，EF=BC．
延長FE、CD相交于點P，延長EF、BA相交于點Q，延長DC、AB相交于點S，如圖3．
∵六邊形ABCDEF是等角六邊形，∴∠BAF=∠AFE=120°．∴∠QAF=∠QFA=60°．
∴△QAF是等邊三角形．∴∠Q=60°，QA=QF=AF．
同理：∠S=60°，SB=SC=BC；∠P=60°，PE=PD=ED．
∵∠S=∠P=60°，∴△PSQ是等邊三角形．∴PQ=QS=SP．
∴QB=QS-BS=PS-CS=PC．∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC．
∵AB∥ED，∴△AOB～△DOE．∴

AB

ED

=

OB

OE

=

OA

OD

．
同理：

BC

EF

=

OB

OE

，

AF

DC

=

OA

OD

．
∴

AB

ED

=

BC

EF

=

AF

DC

．
∴

AB

ED

=

BC

EF

=

AF

DC

=

AB+AF

ED+DC

=1．
∴AB=ED，AF=DC，EF=BC．

（2）連接BF，如圖4，
∵BC∥EF，∴∠CBF+∠EFB=180°．
∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°，∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°．
同理：∠A+∠ABC+∠C=360°．
∴∠AFE=∠C．
同理：∠A=∠D，∠ABC=∠E．
Ⅰ．若有2個內(nèi)角等于120°，不能保證該六邊形一定是等角六邊形．
反例：當∠A=∠D=120°，∠ABC=150°時，∠E=∠ABC=150°．
∵六邊形的內(nèi)角和為720°，∴∠AFE=∠C=

1

2

（720°-120°-120°-150°-150°）=90°．
此時該六邊形不是等角六邊形．
Ⅱ．若有3個內(nèi)角等于120°，能保證該六邊形一定是等角六邊形．
設(shè)∠A=∠D=α，∠ABC=∠E=β，∠AFE=∠C=γ．則2α+2β+2γ=720°．∴α+β+γ=360°．
∵有3個內(nèi)角等于120°，∴α、β、γ中至少有兩個為120°．
若α、β、γ都等于120°，則六個內(nèi)角都等于120°；
若α、β、γ中有兩個為120°，根據(jù)α+β+γ=360°可得第三個也等于120°，則六個內(nèi)角都等于120°．
綜上所述：至少有3個內(nèi)角等于120°，能保證該六邊形一定是等角六邊形．

點評：本題引導(dǎo)學生對幾何圖形進行科學探究（從定義到性質(zhì)到判定），考查了相似三角形、全等三角形以及平行四邊形的性質(zhì)與判定、多邊形的內(nèi)角和定理等知識，考查了分類討論的思想，培養(yǎng)了學生的批判意識（舉反例說明一個命題是假命題），是一道非常難得的好題．